Ingenieria Economica (Apuntes)

Ejemplo de cálculo 4 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo

Ejemplo:

Una persona debe pagar 70000 $ en 3 meses y 85000 $ en 8 meses. Ante la imposibilidad de cancelar las deudas en las fechas previstas le ofrece al acreedor que le cancelará 50000 $ en 4 meses y 130000 $ en 12 meses. Si el acreedor acepta esta nueva forma de pago, ¿Qué tasa de interés efectiva mensual estará pagando?

Solución:

Si se pone el plan de pago original hacia arriba de la línea de tiempo, el plan propuesto en la misma línea de tiempo pero hacia abajo y la fecha focal en 0 se tendrá lo siguiente:

La incógnita es la tasa de interés i, en consecuencia el planteo de la ecuación de valor correspondiente a la gráfica del flujo de caja anterior será:

70000(1+i)^-3+85000*(1+i)^-8=50000*(1+i)^-4+130000*(1+i)^-12

Se solucionará este problema en forma manual, aunque la solución no es sencilla debido a que se trata de una ecuación de grado 12, el procedimiento será el siguiente:

Igualando la ecuación a cero y simplificando por 1000, la ecuación queda como sigue:

70(1+i)^-3-50*(1+i)^-4+85*(1+i)^-8-130*(1+i)^-12=0

Para resolver la anterior ecuación se utilizará el método de ensayo y error combinado con una interpolación, el método consiste en escoger una tasa i₁ y calcular el valor que toma la función f₁, luego se hace lo mismo con otra tasa i₂ y se calcula el valor que toma la función f₂, lo importante es que el valor de las funciones f₁ y f₂ sean de signo diferente, si al hacer los ensayos las funciones salen del mismo signo habrá que hacer nuevos ensayos hasta que se obtenga las funciones con signo diferente.

De acuerdo a lo mencionado, se hace un primer ensayo con i₁=2%, entonces al reemplazar en la ecuación el resultado obtenido será: f₁=-10.18714

Procediendo a hacer un nuevo ensayo con otra tasa i₂=3%, el resultado será: f₂=-4.44404.

Cómo el valor de la función en ambos casos es negativo, entonces se tiene que hacer un nuevo intento con otra tasa hasta que el valor de la función cambie de signo.

Ensayando con i₃₌4%, se tiene que: f₃=0.40058.

Por lo tanto se toman los resultados correspondientes al 3% y 4% por ser los más cercanos y los que presentan signo diferente en el cálculo de la función.

Luego se planteará lo siguiente:

Valor de la tasa Valor de la función

3% -4.44404

x 0

4% 0.40058

Entonces se planteará una proporción, en el siguiente sentido: la diferencia pequeña es a la diferencia grande entre los valores de las tasas de interés, al igual que la diferencia pequeña es a la diferencia grande entre los valores de la función.

Lo anterior se representará de la siguiente forma:

((3-x)/(3-4))=((-4.44404-0)/(-4.44404-0.40058))

Despejando el valor de x de la anterior ecuación se obtendrá:

x=3.9173 % mensual

La interpolación produce un error que es despreciable siempre y cuando el intervalo que se toma para interpolar no sea muy grande, en la práctica financiera un punto porcentual es el máximo permitido para que el error sea despreciable, en este caso se uso un punto porcentual, ya que se interpoló entre 3% y 4%. La respuesta exacta con varios decimales es: x=3.9101765 %.