La ingeniería
económica y la
administración de producción y
operaciones
Toda
persona que esté interesada en el economía de las operaciones, debe
conocer la importancia del valor del dinero en el tiempo (aspecto del
cual se ocupa la ingeniería económica).
El
rol del tiempo, puede resultar evidente en algunos casos (por ejemplo
la entrega de un determinado trabajo para enmarcarse dentro de un
presupuesto prefijado inicialmente); sin embargo, en otros, tales
como procesos de inversión de capital, este rol puede no ser tan
obvio.
De
esta manera, el recibir un dólar dentro de 6 meses, tendrá menos
valor que si hubiera sido recibido ahora. A esta relación, es la que
se denomina “valor del dinero en el tiempo”. Pero ¿cuál es la
razón para que un dólar valga ahora más que dentro de 6 meses?, la
razón es la oportunidad de inversión.
En
el ámbito de la producción y administración de operaciones,
entender lo señalado es de vital importancia, puesto que una empresa
se enfrenta permanentemente a la toma de decisiones relacionadas con
la compra de maquinaria, mantenimiento de maquinaria, ampliación de
la capacidad de producción, desarrollo
de nuevas líneas de producción, etc.
Profundizar
en las herramientas que emplea la ingeniería económica
(conocimiento del manejo de equivalencias financieras en el tiempo),
permite que las decisiones, que en materia financiera pueda tomar una
empresa sean las más adecuadas, haciendo una valoración correcta de
la relación costo beneficio al momento de evaluar una posible
inversión en un instante de tiempo determinado.
Anualidades anticipadas II
La diferencia entre las dos anualidades consiste en que la serie de la anualidad ordinaria empieza con 1 y termina con (1+i)^(n-1), en cambio, la serie de anualidad anticipada comienza con (1+i) y termina con (1+i)^n. Si a la serie anticipada se le agrega un 1 y se le resta al final, el resultado no se altera, siendo esta operación como sigue:
Se debe observar que la parte que está dentro del paréntesis es igual a la serie ordinaria, por lo tanto, se puede expresar que:
Si se reemplaza Sn┐i por su equivalente ((1+i)n-1)/i, se tendrá:
Si se factoriza ((1+i)n-1), se tendrá:
Si se factoriza ((1+i)n-1), se tendrá:
Que es equivalente a: (F/A,n,i%)(1+i)
Anualidades anticipadas I
Como ya se dijo, una anualidad anticipada es aquella en que los pagos se hacen al principio del período. El valor presente y el valor final se representarán respectivamente de la siguiente manera:
Los dos puntos o diéresis indican que es anticipado.
Existen relaciones entre las anualidades ordinarias y las anualidades anticipadas, las cuales pueden ser deducidas del análisis de las siguientes gráficas:
Para facilitar el planteamiento de la ecuación de valor se comienza con el pago que está en n, siguiendo con el que está en n-1 y así sucesivamente hasta llegar al pago situado en 1, entonces para el valor final con anualidad ordinaria la ecuación de valor quedará de la siguiente forma:
Sn┐i = 1+ (1+i) + (1+i)2 + … + (1+i)n
Para la anualidad anticipada en valor final, la gráfica del flujo de caja quedará de la siguiente manera:
Obsérvese que en el caso planteado se ha usado una doble numeración la que está por encima de la línea de tiempo indica el número de pago, mientras que la que se encuentra debajo de la línea de tiempo señala los períodos y así en el período 0 que es el comienzo del primer período se está haciendo el pago número 1, en el período 1 que es el final del primer período pero a su vez es el comienzo del segundo período y por eso se realiza el segundo pago y así sucesivamente hasta que se llegue al punto n-1 debajo de la línea de tiempo que representa el final del período n-1 pero también es el comienzo del período n y por tanto ahí debe estar el pago n y su ecuación de valor será:
Ejemplo 3 - Anualidades ordinarias – Valor presente y valor futuro
Una deuda e 50000 $ se va a cancelar mediante 12 pagos uniformes de R $. Con una tasa de 2 % efectivo para el período, encontrar el valor de la cuota R situando la fecha focal en:
a) El día de hoy
b) En 12 meses
Solución:
a) Si se pone la fecha focal el día de hoy, la gráfica que representa el flujo de fondos será la siguiente:
Para este primer caso se usará la siguiente expresión:
an┐i
Ya que todo el flujo de caja debe ser puesto al principio que es donde está la fecha focal y la ecuación de valor quedará de la siguiente manera:
50000 = Ra12┐2%
De donde:
El valor de la renta será igual a:
R = 4727.98 $
b) Si se pone la fecha focal en 12 meses la gráfica correspondiente al flujo de caja para el ejemplo planteado será:
En este caso se puede emplear la siguiente expresión: Sn┐i
Ya que todo el flujo de caja debe ser puesto en el punto 12 que es donde está la fecha focal, pero la deuda de los 50000 $ sigue en 0, lo cual implica que deberá ser trasladada a valor final junto con todos los pagos, entonces la ecuación quedará de la siguiente manera:
50000(1.02)12 = R S12┐2%
Resolviendo la ecuación anterior para R se obtiene:
R = 4727.98 $
Nótese que los valores obtenidos usando las dos fechas focales son iguales.
Ejemplo 2 - Anualidades ordinarias – Valor futuro
Una persona empieza el 1 de julio de 2006 a hacer depósitos de 1000 $ de forma mensual (realiza los depósitos el primer día de cada mes). Estos depósitos son efectuados en una entidad financiera que le paga el 24 % CM, pero a partir del 1 de octubre de 2007, decide que de ahí en adelante, sus depósitos serían de 2500 $. El último depósito lo hace el 1 de agosto de 2009. Si el 1 de diciembre de 2009 decide cancelar la cuenta. ¿Cuál sería el monto de sus ahorros?
Solución:
La representación del flujo de caja correspondiente al ejercicio planteado se muestra a continuación:
Obsérvese que hay dos anualidades: la de renta de 1000 $ y la renta de 2500 $. La primera anualidad empieza el 1-6-2006 y termina el 1-9-2007 y la segunda anualidad empieza el 1-9-2007 y termina el 1-8-2009. De esa manera la primera anualidad tendrá una duración de 15 períodos y su valor final deberá ser trasladado por 27 períodos para llevarlo a la fecha focal (desde el 1-9-2007 al 1-12-2009). La segunda anualidad tendrá 23 períodos y su valor final se debe trasladar por 4 períodos y así la ecuación de valor se planteará como.
1000S15┐2%*(1.02)27+2500S23┐2%*(1.02)4=X
De donde se obtiene que el monto total en la fecha focal será:
X = 107574.69 $
Ejemplo 1 Anualidades ordinarias – Valor presente
Un documento estipula pagos trimestrales de 80000 $ durante 6 años. Si este documento se cancela con un solo pago de:
a) A $ al principio o,
b) S $ al final, con una tasa del 32 % CT.
Solución:
El número de pagos se puede calcular mediante:
n = 4*6= 24
Y R = 80000 $
La tasa efectiva trimestral será:
i = (32 % / 4) = 8 % efectivo trimestral
a)
La representación del flujo de caja correspondiente será:
Luego el valor del pago representado por A será:
A = 80000*[1-(1+0.08)-24]/0.08 = 842301 $
b)
El flujo de caja para el caso puede ser representado por:
Luego el valor del pago equivalente a S se determinará de la siguiente manera:
S = 80000[1+0.08)24-1]/0.08 = 5341181 $
Anualidades ordinarias y anticipadas – El valor presente
Valor presente
El caso del valor presente se lo representa por an┐i en la notación actuarial y por (P/A,n,i%) en la notación tradicional y significará el valor presente de una anualidad de n pagos puestos en valor presente a la tasa i %.
La fórmula se obtiene al plantear la ecuación de valor con fecha focal al principio y trasladando todos los pagos a valor presente a la tasa i (de nuevo, no se pierde generalidad si se supone que todos los pagos son de 1$).
(P/A, n, i%) = an┐i = (1+i)-1+(1+i)-2+………+(1+i)-n
Para simplificar la ecuación anterior, se puede seguir un procedimiento similar al realizado para el valor final; sin embargo el camino mas corto consiste en actualizar el valor final.
Luego se tendrá:
an┐i = Sn┐i (1+i)-n
Si se reemplaza Sn┐i por su equivalente ((1+i)n-1)/i, se tendrá:
an┐i = [((1+i)n-1)/i](1+i)-n = [1-(1+i)-n)]/i
De donde se puede concluir que:
(P/A,n,i%) = an┐i = [1-(1+i)-n)]/i
Las anteriores fórmulas fueron deducidas para una renta de 1 $, pero si la renta hubiese sido de R $, el valor final VF o el valor presente VP hubiese sido R veces mayor. Por la tanto se puede escribir lo siguiente:
VF = R Sn┐i
Y también
VP = R an┐i
Plazo de una anualidad y Valor final II
Plazo de una anualidad (continuación)
Ahora se procederá a calcular el valor final de una anualidad. No se pierde generalidad si se supone que la renta es de 1 $, pues este valor puede ser factorizado en la ecuación para calcular el valor final, como se muestra a continuación en referencia a un ejemplo mostrado anteriormente:
2000000 = R[((1.1)-1+(1.1)-2+(1.1)-3+(1.1)-4]
Lo que está dentro de los corchetes es el valor presente de 1 $ en un período, seguido del valor presente de 1 $ en dos períodos y así sucesivamente hasta llegar al valor presente de 1 $ en 4 períodos.
En forma general se tendrá:
Para plantear la ecuación de valor con fecha focal en n se traslada cada uno de los pagos de 1 $ a valor final usando la fórmula del interés compuesto S= P(1+i)n a cada pago, pero en cada caso, P=1. El pago que está en 1 se traslada por n-1 períodos, el que está en 2 se traslada por n-2 períodos y así sucesivamente hasta llegar al pago que está en n, el cuál no se traslada por estar en la fecha focal, entonces se tendrá: (F/A, n, i%) = 1+ (1+i) + (1+i)2 + ……… + (1+i)n-1
Si se multiplica la ecuación anterior por (1+i) se obtendrá lo siguiente:
(F/A, n, i%) (1+i) = (1+i) + (1+i)2 + ……… + (1+i)n
Si se realiza la resta de las dos ecuaciones anteriores, se obtendrá:
(F/A, n, i%) (1+i) - (F/A, n, i%) = (1+i)n -1
Factorizando (F/A, n, i%) o Sn┐i en la notación actuarial, se obtiene:
(F/A, n, i%) (i) =(1+i)n -1
Por último despejando (F/A, n, i%), se tendrá:
(F/A, n, i%) = Sn┐i=((1+i)n-1)/i)
Plazo de una anualidad y Valor final
Plazo de una anualidad
El tiempo que transcurre entre el inicio del primer período y el final del último período se denomina el plazo de una anualidad y se representa por n.
Una anualidad tiene dos valores el valor final y el valor presente en el primer caso, todos los pagos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos son trasladados al principio de la anualidad.
Valor final
Si se hace los cálculos para hallar el valor final de una anualidad ordinaria. El valor final puede ser representado de dos maneras:
La primera usando la notación tradicional:
(F/A,n,i%)
Donde F significa valor final, A significa que se trata de una anualidad, n indica el número de pagos de la anualidad y la i % significa la tasa de interés a la cual todos los pagos son trasladados a valor final.
La segunda forma de representación es con la notación actuarial:
Donde la S significa valor final, la n (cantidad que se escribe dentro del ángulo) indica el número de pagos y la i indica la tasa de interés a la cual serán llevados todos los pagos a valor final.
Debido a que la notación actuarial es más condensada en muchos casos es recomendable su utilización.
Anualidades ordinarias y anticipadas VI
El siguiente gráfico no representa una anualidad porque hay 4 pagos y hay 5 períodos.
Claramente puede observarse que cuando se inicia el gráfico con pago y se termina con pago, no hay una anualidad bien conformada y cuando el gráfico inicia con período y termina con período, tampoco hay una anualidad bien conformada. Las gráficas que representan anualidades bien conformadas tienen una característica en común, que su inicio y fin son diferentes, en un caso se inicia con período y se termina con pago y en el otro se inicia con pago y se termina con período.
En conclusión se puede decir que para una anualidad este bien conformada, en la grafica de representación el inicio y el fin deben ser diferentes.
Anualidades ordinarias y anticipadas V
Anualidad ordinaria o anualidad vencida
Para que la gráfica anterior represente una anualidad bien conformada es necesario agregarle un período que bien puede quedar al principio o al final. En el primer caso se tendría:
La anualidad así conformada recibe el nombre de anualidad ordinaria o anualidad vencida que viene a ser aquella en que los pagos se efectúan al final del período por ejemplo el pago de los sueldos de un empleado (primero viene el período de trabajo y después viene el pago). Anualidad anticipada
En el segundo caso se tendría:
Las anualidades así conformadas reciben el nombre de anualidades anticipadas porque los pagos se efectúan al principio del período por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa (primero paga y después tiene derecho a ocupar la casa durante el mes que se pagó).
Anualidades ordinarias y anticipadas IV
La segunda condición establece que los pagos deben hacerse a iguales intervalos de tiempo, esto es necesario para que los exponentes sean ascendentes o descendentes tal como se vio en las ecuaciones del ejemplo señalado. Esta condición se cumple aún si los pagos son trimestralmente, semestralmente o anualmente y sin embargo a la serie se le sigue llamando anualidad.
La tercera condición establece que todos los pagos deben ser llevados a valor presente o a valor final, según sea el caso, a la misma tasa de interés. Esto garantiza que todos los términos dentro del paréntesis tienen la misma base, por lo tanto, la serie que está adentro del paréntesis forma una progresión geométrica.
La cuarta condición establece que el número de pagos debe ser igual al número de períodos.
Por lo tanto la serie que se muestra en la siguiente gráfica no representa una anualidad porque tiene 4 pagos y solo hay 3 periodos.
Anualidades ordinarias y anticipadas III – Renta, período de renta, anualidad
Renta
Es el pago periódico de igual valor que corresponde a los R $ del ejemplo anterior. A la renta también se le conoce con el nombre de: cuota, depósito, retiro o pago, según sea el caso.
Período de renta
Es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos consecutivos.
Anualidad
Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:
- Todos los pagos son de igual valor.
- Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
- A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.
- El número de pagos es igual al número de períodos.
Las condiciones anteriores obedecen a ciertas normas y tienen algunas implicaciones, por ejemplo, la primera condiciones es indispensable para poder factorizar tal como se hizo cuando se plantearon las ecuaciones de valor del ejemplo inicial mostrado en la introducción del tema de anualidades.
Anualidades ordinarias y anticipadas II
Si se hubiese planteado la ecuación de valor con fecha focal al final la ecuación de valor habría quedado de la siguiente manera:
2000000(1.14) = R(1+0.1)0+R(1+0.1)1+R(1+0.1)2+R(1+0.1)3
Factorizando se tendría:
2000000(1.14) = R((1+0.1)0+(1+0.1)1+(1+0.1)2+(1+0.1)3)
Luego: 2898200 = R(4.641)
R = 630941.61 $
Se observa a primera vista que la ecuación tiene una presentación muy distinta pero el resultado final es el mismo.
El problema anterior no presentó dificultad en su resolución, pero, si el número de pagos hubiese aumentado considerablemente, la solución no hubiese sido tan sencilla, como en el caso de pagar una deuda mediante pagos mensuales, durante 20 años. La solución de este problema dio origen a un modelo matemático llamado anualidad. A continuación se darán algunas definiciones básicas para el tema de anualidades.
Anualidades ordinarias y anticipadas I
Considere el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Una persona compra un terreno cuyo valor, al contado, es de 2 millones de $. Si le dan la facilidad para pagarlo en cuatro cuotas trimestrales de R $ cada una, que se efectuarán al final de cada trimestre y además se le cargaría un interés del 40 % CT, hallar el valor de la cuota trimestral de amortización.
Solución:
En primera instancia se puede construir un grafico en el que se represente los flujos de dinero establecidos en el ejemplo. Este gráfico se conoce también con el nombre de flujo de caja. Puesto que la tasa tiene efectividad trimestral y los pagos son trimestrales se puede usar el trimestre como período.
Si se plantea la ecuación del valor poniendo la fecha focal en el año cero, la ecuación quedaría de la siguiente forma: 2000000 = R(1+0.1)-1+R(1+0.1)-2+R(1+0.1)-3+R(1+0.1)-4
Factorizando R se tendría:
2000000 = R((1+0.1)-1+(1+0.1)-2+(1+0.1)-3+(1+0.1)-4)
Haciendo cálculos:
2000000 = R(3.169865)
Despejando el valor de la cuota se tendría:
R = 630941.61 $
Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank V
Ejercicio
¿Cuál de las siguientes alternativas tiene una mejor tasa de retorno: $200 invertidos durante 1 año con $6.25 pagados en interés o $500 invertidos durante un año con $18 pagados en interés?
Solución:
El monto del interés se puede calcular mediante la siguiente ecuación:
Interés = tasa de interés * monto de la inversión
Despejando la tasa de interés se tiene:
Tasa de interés (%) = (Interés / monto de la inversión) *100
Reemplazando los valores para las dos opciones planteadas en el ejemplo, se tendrá:
Opción 1: $200 con un interés de $6.25
Tasa de interés = ($6.25/$200)*100 = 3.125 % anual
Opción 2: $500 con un interés de $18
Tasa de interés = ($18/$500)*100 = 3.6 % anual
Por lo tanto la opción que mejor tasa de retorno presenta es la segunda, es decir la de $500 con un interés de $18.
Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank IV
Ejercicio
¿Cuál fue la cantidad del préstamo si la tasa de interés es 1.5 % mensual pagadero mensualmente y el prestatario acaba de hacer el primer pago mensual de $25 en intereses?
Solución:
El interés se puede calcular mediante:
Interés = tasa de interés * monto del préstamo
Si el primer pago efectuado fue de $25 en intereses y la tasa de interés es de 1.5 %, entonces se puede despejar de la ecuación planteada el monto del préstamo.
Luego se tendrá:
Monto del préstamo = Intereses/tasa de interés
Reemplazando valores se tendrá:
Monto del préstamo = $25/0.015 = $1666.67
Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank III
Ejercicio
Calcule la cantidad de interés por pagar después de 1 año sobre un préstamo de $5000 si el interés es 8 % anual. ¿Cuál es el periodo de interés?
Solución:
El interés se puede calcular mediante:
Interés = Monto adeudado al final – Monto original del préstamo
El monto adeudado al final será igual a:
Monto adeudado al final = Monto original del préstamo * (1+tasa de interés)
Reemplazando valores:
Monto adeudado al final = $5000 * (1.08) = $5400
Luego el interés será:
Interés = $5400 - $5000 = $400
Alternativamente se puede hacer el siguiente procedimiento.
La cantidad de interés a pagar por el préstamo de $5000 al 8 5 anual será igual a:
Interés = tasa de interés * monto del préstamo
Reemplazando valores se tendrá:
Interés = 0.08 * $5000 = $400
El período de interés será igual a 12 meses.
Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank II
Ejercicio
Cheryl reunió tasas de préstamo promocionadas de tres lugares. Estas son: 10 % anual compuesto semestralmente, 11 % anual compuesto trimestralmente y 11.5 % anual. Establezca el periodo de interés en meses para cada tasa.
Solución:
De acuerdo al enunciado del ejercicio, los períodos de interés en meses para cada tasa serán.
10 % anual compuesto semestralmente corresponderá a períodos de 6 meses.
11 % anual compuesto trimestralmente corresponderá a períodos de 3 meses
11.5 % anual, corresponderá a períodos de 12 meses.
Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank I
Ejercicio
Julio obtuvo un préstamo de $1000 de un banco y pagó 12 % anual compuesto semestralmente. El rembolsó el préstamo en seis pagos iguales de $ 203.36 cada uno. Determine la suma total en dólares pagada por Julio y establezca que porcentaje del préstamo original representa este interés:
Solución:
Si se reembolsó el préstamo es seis pagos iguales de $203.36, la suma total desembolsada por Julio será:
Monto total desembolsado = $203.36 * 6 = $1220.16
El interés pagado en términos monetarios, respecto al monto del préstamo obtenido será igual a:
Interés = Monto pagado – Monto préstamo original
Reemplazando valores se tiene:
Interés = $1220.16 - $1000 = $220.16
El porcentaje del interés pagado respecto al monto del préstamo original será entonces:
% préstamo original que representa el interés pagado = ($220.16/$1000)*100% =22.016 %
