Ejemplo equivalencias tasas de interés referenciales
Supóngase que una persona tiene un préstamo hipotecario al IPC + 4 puntos. ¿Cuál debe ser el spread si se cambia a otro plan cuya tasa es una tasa referencial + X? Suponga que el IPC es igual a 8 % y que la tasa referencial igual a 18.67 % TA (Trimestre anticipado).
Solución:
Se plantea la siguiente ecuación:
IPC + 4 = Tasa referencial + X
Pero se debe tener en cuenta que el IPC tiene efectividad anual, mientras que la Tasa referencial está dada como nominal trimestre anticipada.
La igualdad debe realizarse en las mismas unidades y el spread en cada caso viene a quedar en las mismas unidades de la tasa principal, en este caso 4 viene a ser efectivo anual y X viene a ser nominal trimestral anticipada.
Se debe recordar que para sumar dos tasas efectivas se aplica la fórmula de tasa combinadas, por tanto el primer miembro de la igualdad dada con anterioridad será:
IPC + 4 = 0.08 + 0.04 + 0.08*0.04 = 0.1232 =12.32 % efectivo anual
Como la incógnita que está en el otro miembro de la ecuación está dada en nominal trimestre anticipado entonces esta tasa debe ser convertida en nominal trimestre anticipado:
(1+0.1232) = (1+i)4 de donde:
i = 2.9471 % período trimestre vencido
Luego:
ia = i/(1+i) = 0.029741/(1+0.029741) = 2.86275 % TA
Y entonces:
ja = 2.68275*4 =11.451 % TA
Y el anterior valor corresponde al primer miembro de la igualdad IPC + 4 = Tasa referencial + X.
La suma de dos tasas nominales se obtiene efectuando una suma simple de manera que el segundo miembro de la ecuación anterior será:
Tasa referencial + X = 0.187 + X nominal trimestre anticipado
Finalmente la ecuación quedará de la siguiente manera:
0.11451 = 0.1867 + X
De donde:
X = -0.07219 = -7.219 % TA
De donde se puede concluir que si se cambia de plan tendrá que ser a la Tasa referencial menos 7.219 %.
Equivalencia de tasas de interés referenciales
Hay muchos créditos atados a una tasa principal por ejemplo a la inflación más unos puntos adicionales, estos puntos adicionales se denominan el Spread, suponiendo que la inflación fuera del 10 % efectivo anual y el que spread sea de 5 puntos, entonces la tasa a la cual se cancelaría el crédito se puede calcular aplicando la fórmula de la tasa combinadas:
i = 0.1+0.05+0.1*0.05 = 0.155 = 15.5 % efectivo anual
Cuando la tasa principal viene dada en forma efectiva anual para agregarle el spread se usa la fórmula de combinación de tasas pero si el spread se le adiciona a una tasa de interés nominal entonces el spread simplemente se suma a la tasa principal por ejemplo:
Si un préstamo para vivienda se otorga a la tasa principal X más 8 puntos y suponiendo que la tasa de interés X = 17 % TA (significa 17 % nominal trimestre anticipado), entonces la tasa del crédito será:
0.17 + 0.08 = 0.25 = 25 % TA
Por equivalencia de tasas se concluye que es equivalente al 29.5 % efectivo anual.
La importancia de la ingenieria economica
¿Por qué es importante la ingeniería económica?
En la vida cotidiana se toman decisiones de toda índole prácticamente a diario. Sin duda alguna, las decisiones que el individuo toma en un determinado momento y lugar, generan repercusiones que pueden afectar en gran o pequeña medida su futuro.
Al momento de tomar una decisión, el individuo toma en cuenta factores económicos y no económicos, o factores tangibles e intangibles, lo que sustenta en gran medida la decisión que vaya a seleccionar.
Dejando a un lado los factores subjetivos, el individuo toma decisiones basándose principalmente en los factores económicos que implican estas. Es ahí donde radica la importancia de la ingeniería económica.
La ingeniería económica hace referencia a la determinación de los factores y criterios económicos utilizados cuando se considera una selección entre un o más opciones. Dicho de otro modo, la ingeniería económica aplica un enfoque racional para evaluar los aspectos económicos implicados en la toma de decisiones.
De lo mencionado anteriormente, se puede inferir que la importancia de la ingeniería económica, radica en el instrumental que le proporciona al agente económico para tomar o seleccionar las decisiones más racionales.
Ejemplo de cálculo de la tasa de interés real resultante de incluir la inflación
Ejemplo:
Un inversionista residente en el “país de las maravillas” (donde la moneda local es el peso $), adquiere un documento que vale 300 $us, gana un interés de 6 % en $us y tiene un plazo de un año, el tipo de cambio actual es 1$us = 1500 $ y se estima una devaluación durante ese año del 20 %. Calcular la rentabilidad que se podía obtener, teniendo en cuenta que la inflación para el año en que se hizo la inversión fue del 18 %.
Solución:
La inflación siempre se da como una tasa efectiva anual, por lo que no hay necesidad de agregar las letras EA.
El cálculo de la rentabilidad total (en términos nominales), es posible a través de la siguiente expresión:
i = i1+i2+i1i2
i = 0.06+0.2 + (0.06)(0.2) = 27.2 %
Y si la tasa de inflación f=18%, entonces la rentabilidad real o tasa deflactada se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
ir =(i-f)/(1+f)
Reemplazando valores en la expresión anterior se tendrá:
ir =(0.272-0.18)/(1+0.18) = 0.0779 = 7.8 %
Lo anterior indica que el inversionista se quedará con una tasa de rendimiento real igual al 7.8 % EA.
Tasa de interés real resultante de incluir la inflación en el interés compuesto
Tasa deflactada o tasa real
Al hacer análisis sobre proyectos de inversión es necesario tener en cuenta que la inflación afecta la rentabilidad real de un proyecto y que siempre se desea obtener una rentabilidad superior a la inflación. Para calcular la rentabilidad real se puede hacer uso de la fórmula de tasa combinada, derivada anteriormente:
i = i1+i2+i1i2
Asumiendo que la inflación f=i1, que la rentabilidad real ir=i2 y que la rentabilidad que en total paga es i, por tanto se tiene:
i=f+ir+fir
Despejando ir se tiene:
ir =(i-f)/(1+f)
Ejemplo de cálculo tasa de interés combinada resultante de la devaluación en el interés compuesto
Ejemplo:
Un inversionista residente en el “país de las maravillas” (donde la moneda local es el peso $), adquiere un documento que vale 300 $us, gana un interés de 6 % en $us y tiene un plazo de un año, el tipo de cambio actual es 1$us = 1500 $ y se estima una devaluación durante ese año del 20 %. Calcular la rentabilidad que se podía obtener.
Como se puede observar, es el mismo ejemplo resuelto anteriormente, pero ahora se resolverá empleando la tasa combinada derivada.
Solución:
Para el caso:
i1 = 6 %, que corresponde a la tasa de interés en dólares estadounidenses
i2 = 20 %, que corresponde a la devaluación esperada.
Entonces para encontrar la tasa combinada se empleará la siguiente expresión:
i = i1+i2+i1i2
Reemplazando los valores correspondientes en la anterior ecuación se tendrá:
i = 0.06+0.2 + (0.06)(0.2) = 27.2 %
El anterior resultado es equivalente a la tasa de interés encontrada sin emplear la fórmula directamente.
Tasas de interés combinadas resultantes de la devaluación en el interés compuesto
Tasas combinadas
En el ejemplo anterior el inversionista ganaría dos tasas, una la tasa de interés en dólares estadounidenses 6 % y otra tasa de devaluación 20 % (porque al finalizar el año va a recibir más pesos por el mismo dólar).
Cuando se combina una tasa i1 con una tasa i2 cono el objeto de facilitar los cálculos se puede utilizar la tasa combinada i. El siguiente análisis permitirá deducir una fórmula para hallar esa tasa.
El monto final de un período a la tasa i1 será: (1+i1)
El monto de $(1+i1) a la tasa i2 será: (1+i1)(1+i2)
El monto al final del mismo período se 1 $ a la tasa i será: (i+i)
Al igualar las dos últimas expresiones, se estaría igualando los montos y se tendrá: (1+i) = (1+i1)(1+i2)
Al despejar i de la última expresión se tiene:
i = i1+i2+i1i2
Ejemplo de cálculo devaluación y el interés compuesto
Ejemplo:
Un inversionista residente en el “país de las maravillas” (donde la moneda local es el peso $), adquiere un documento que vale 300 $us, gana un interés de 6 % en $us y tiene un plazo de un año, el tipo de cambio actual es 1$us = 1500 $ y se estima una devaluación durante ese año del 20 %. Calcular la rentabilidad que se podía obtener.
Solución:
Las condiciones iniciales son:
300 $us lo que es equivalente a 300*1500 = 450000 $
Las condiciones finales en dólares son: 300(1+0.06)1 = 318 $us
Para calcular las condiciones finales en pesos primero se debe calcular el tipo de cambio que regirá dentro de un año.
Como la devaluación es del 20 %, dentro de un año un dólar valdrá 1500(1+0.2)1 = 1800 $, y los 318 $us valdrán 318*1800 = 572400 $, tal como se muestra en el siguiente esquema.
Como el inversionista reside en “el país de las maravillas”, la rentabilidad que él necesita conocer se obtiene aplicando la fórmula del interés compuesto a los valores iniciales y finales en pesos (si el inversionista fuera residente en EEUU, la rentabilidad se obtendría entre valores iniciales y finales pero en dólares estadounidenses). Entonces:
572400 =450000(1+i)1 y al despejar la tasa de interés se obtiene:
i = 27.2 %
Obsérvese que el 27.2 %, no corresponde a la suma del 20 % con el 6 %.
La devaluación y la ingeniería económica
La pérdida de valor de una moneda frente a otra moneda se denomina devaluación, por ejemplo habrá devaluación si inicialmente hay que pagar 15000$ por un dólar y un año más tarde hay que pagar 2000 $ por el mismo dólar. En este caso la devaluación del año es igual a la variación de precio sobre el precio inicial, lo que se puede representar de la siguiente manera:
Devaluación = (2000-1500)/1500=0.3333=33.33 %
Lo contrario de la devaluación se denomina revaluación que significa que habrá que pagar menos unidades monetarias con respecto a otra, por ejemplo si al principio del año hay que pagar 1500 $ por un dólar y al final del año hay que pagar 1200 $ entonces la revaluación será la variación del precio sobre el precio inicial, lo que se puede representar de la siguiente forma:
Revaluación = (1200-1500)/1500 = -0.2 =-20 %
En 1944 en Bretón Woods, una pequeña población de Estados Unidos, se reunieron los delegados de los países occidentales y acordaron que el oro ya no sería el patrón universal y que de ahí en adelante el patrón universal sería la moneda del país que tuviera el mayor comercio; después de los estudios correspondientes se concluyó que esta moneda era el dólar de Estados Unidos.
La devaluación como fenómeno afecta al sector externo de un país en varios frentes de la economía, un aspecto benéfico de la devaluación está en las exportaciones ya que los exportadores recibirán más moneda local por la venta de sus productos en el exterior e incentiva a muchos industriales a vender sus productos en otros países incrementando así las reservas internacionales. Pero la devaluación también trae sus efectos indeseables como es el aumento de la deuda externa en términos de moneda local; las importaciones aumentan de valor lo que provoca una mayor inflación y reduce la inversión extranjera debido a que los efectos de la devaluación reducen la rentabilidad de los inversionistas extranjeros.
Por ejemplo, si se ha proyectado que la devaluación sea del 14 % anual esto implica que si el precio del dólar a principio del año es de 1000 $ a los seis meses debe estar próximo a los 1070 $ y al final del año debe estar rondando los 1140 $ pero como se mencionó anteriormente el precio del dólar depende no sólo de las proyecciones macroeconómicas sino de la oferta y demanda de la divisa y de la situación política actual de un país.
La inflación y la ingeniería económica
El proceso económico en el cual se presenta un aumento general de precios se denomina inflación que se representa por f. Para calcular la inflación se toma una serie de artículos que conforman la canasta familiar. Es posible que en un lapso de tiempo determinado algunos artículos de esta canasta familiar suban de precio, otros se mantienen estables y algunos podrán bajar de precio, el resultado de todo lo que pasa con la canasta familiar se mide con el IPC (Índice de Precios al Consumidor).
Con el hecho que suba de precio un solo artículo de los que conforman la canasta familiar habrá inflación aunque por tratarse de un solo articulo la incidencia que tenga sobre el IPC será muy poca. Naturalmente hay artículos que tienen más incidencia en el IPC que otros, por ejemplo: cuando sube el precio de los combustibles, si se toma el caso de la gasolina, se aumentan las tarifas del transporte y con el ello el precio de otros productos como los alimentos; en consecuencia un aumento del precio de los combustibles traerá una cadena de alzas en varios de los artículos que conforman la canasta familiar y por lo tanto tendrá más incidencia en el IPC que por ejemplo el aumento de las pensiones en el sector de la educación.
Lo contrario de la inflación se denomina deflación, significa una disminución general de precios y en este caso el IPC disminuye.
En el sector de la producción, la canasta familiar en vez de bienes de consumo, incluye materias primas, salarios, energía y demás insumos necesarios para la producción, por lo tanto tiene un valor diferente que se mide con el IPP (Índice de precios al productor) el cual varia de un sector a otro.
Se debe mencionar que la inflación y la deflación son fenómenos internos a un país.
Ejemplo de aplicación del interés compuesto en depósitos a término fijo
Ejemplo:
Supóngase que una persona invierte 600000 $ en un depósito a término fijo en 6 meses, si le garantizan una tasa del 24 % NM, determinar el valor final del documento suponiendo un impuesto del 7 % sobre las utilidades.
Solución:
La gráfica correspondiente al flujo de caja será puede ser representado de la siguiente manera:
La inversión inicial es de 600000 $. El monto antes de impuestos que deberá calcularse con la tasa efectiva será:
S= 600000*(1+0.02)6=675697.45 $
Los intereses vienen a ser la diferencia entre el valor final y el valor inicial, es decir:
I=S-P=675697.45-600000=75697.45 $
La retención en la fuente es del 7 % de los intereses, es decir: 0.07*75697.45=5298.82 $
Redondeando las cifras se tiene que el monto después de impuesto será:
675687-5299 = 670398 $
La rentabilidad después de impuestos se puede calcular de la siguiente manera:
670398 =600000(1+i)6
De donde se obtiene que i=1.86598 % EM
Por equivalencia de tasas i=24.84 %EA
De lo visto hasta el momento se puede concluir que si el depósito a término fijo gana el 2 % EM significa que estará dando el 26.824 %EA pero antes de impuestos y que después de impuestos se reduce al 24.84 % EA, sin embargo esto no es más que una utopía porque el inversionista entregó al principio 600000 $, los cuales tenían un cierto poder adquisitivo y cuando le devuelven el dinero su poder de compra se ha disminuido por efectos de la inflación.
Aplicaciones del interés compuesto – Depósitos a término fijo
Muchas son las aplicaciones que tiene la fórmula del interés compuesto. A continuación solo se dará algunas de las muchas aplicaciones. Para empezar se examinará los depósitos a término fijo o certificados de depósito a término.
Depósitos a término fijo
La misión de un intermediario financiero consiste en conseguir dinero prestado generalmente del público y volverlo a prestar a otras personas pero a una tasa más alta. Para conseguir dinero del público debe ofrecer una tasa de interés e incentivar a los inversionistas a que le traigan sus ahorros, a esta tasa se le denomina tasa de captación o tasa pasiva de interés. Cuando va a prestar estos dineros lo hace a una tasa de interés mayor denominada tasa de colocación o tasa activa de interés.
A la tasa de captación también se le denomina tasa pasiva porque cuando el intermediario financiero recibe el dinero debe registrar en el pasivo una obligación la cual genera unos intereses que deberá pagarle al inversionista, de ahí el nombre de tasa pasiva.
A la tasa de colocación también se le denomina tasa activa porque en el momento en que la entidad financiera presta el dinero registra en el activo una cuenta por cobrar, como estos dineros generan intereses que van a los activos, de ahí el nombre de tasa activa.
La diferencia entre la tasa activa y la pasiva recibe el nombre de margen de intermediación (también denominado spread) que no es exactamente la ganancia del intermediario financiero porque intervienen otros factores tales como impuestos, encajes, etc.
En los depósitos a término fijo es importante tener en cuenta que la ganancia por concepto de intereses es gravada con un impuesto que se cobra al momento en que se hace el pago y se denomina retención en la fuente.
Ejemplo de cálculo 4 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo
Ejemplo:
Una persona debe pagar 70000 $ en 3 meses y 85000 $ en 8 meses. Ante la imposibilidad de cancelar las deudas en las fechas previstas le ofrece al acreedor que le cancelará 50000 $ en 4 meses y 130000 $ en 12 meses. Si el acreedor acepta esta nueva forma de pago, ¿Qué tasa de interés efectiva mensual estará pagando?
Solución:
Si se pone el plan de pago original hacia arriba de la línea de tiempo, el plan propuesto en la misma línea de tiempo pero hacia abajo y la fecha focal en 0 se tendrá lo siguiente:
La incógnita es la tasa de interés i, en consecuencia el planteo de la ecuación de valor correspondiente a la gráfica del flujo de caja anterior será: 70000(1+i)-3+85000*(1+i)-8=50000*(1+i)-4+130000*(1+i)-12
Se solucionará este problema en forma manual, aunque la solución no es sencilla debido a que se trata de una ecuación de grado 12, el procedimiento será el siguiente:
Igualando la ecuación a cero y simplificando por 1000, la ecuación queda como sigue:
70(1+i)-3-50*(1+i)-4+85*(1+i)-8-130*(1+i)-12=0
Para resolver la anterior ecuación se utilizará el método de ensayo y error combinado con una interpolación, el método consiste en escoger una tasa i1 y calcular el valor que toma la función f1, luego se hace lo mismo con otra tasa i2 y se calcula el valor que toma la función f2, lo importante es que el valor de las funciones f1 y f2 sean de signo diferente, si al hacer los ensayos las funciones salen del mismo signo habrá que hacer nuevos ensayos hasta que se obtenga las funciones con signo diferente.
De acuerdo a lo mencionado, se hace un primer ensayo con i1=2%, entonces al reemplazar en la ecuación el resultado obtenido será: f1=-10.18714
Procediendo a hacer un nuevo ensayo con otra tasa i2=3%, el resultado será: f2=-4.44404.
Cómo el valor de la función en ambos casos es negativo, entonces se tiene que hacer un nuevo intento con otra tasa hasta que el valor de la función cambie de signo.
Ensayando con i3=4%, se tiene que: f3=0.40058.
Por lo tanto se toman los resultados correspondientes al 3% y 4% por ser los más cercanos y los que presentan signo diferente en el cálculo de la función.
Luego se planteará lo siguiente:
Valor de la tasa Valor de la función
3% -4.44404
x 0
4% 0.40058
Entonces se planteará una proporción, en el siguiente sentido: la diferencia pequeña es a la diferencia grande entre los valores de las tasas de interés, al igual que la diferencia pequeña es a la diferencia grande entre los valores de la función.
Lo anterior se representará de la siguiente forma:
((3-x)/(3-4))=((-4.44404-0)/(-4.44404-0.40058))
Despejando el valor de x de la anterior ecuación se obtendrá:
x=3.9173 % mensual
La interpolación produce un error que es despreciable siempre y cuando el intervalo que se toma para interpolar no sea muy grande, en la práctica financiera un punto porcentual es el máximo permitido para que el error sea despreciable, en este caso se uso un punto porcentual, ya que se interpoló entre 3% y 4%. La respuesta exacta con varios decimales es: x=3.9101765 %.
Ejemplo de cálculo 3 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo Ejemplo:
Una persona debe pagar 10000 $ con vencimiento en 3 meses, 15000 $ con vencimiento a 10 meses y 20000 $ con vencimiento a un año. Si hace un pago único de 45000 $, hallar la fecha en que debe hacerse. Supóngase una tasa del 18 % nominal mensual.
Solución:
La gráfica correspondiente a los flujos se puede representar de la siguiente forma:
Del flujo de caja representado en el anterior gráfico, se puede plantear la siguiente ecuación de valor: 10000*(1+0.015)9+15000*(1+0.015)2+20000 = 45000*(1+0.015)12-n
Operando la anterior ecuación se tiene:
46887.27 = 45000*(1.015)12-n
Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación anterior se tendrá:
log(46887.27/45000)=(12-n)log(1.015)
Despejando el valor de n se tendrá:
n=9.240959 meses
Lo anterior es equivalente a 9 meses + 0.24059 de mes. La fracción de mes puede ser convertida a un número de días por lo que se tendrá:
0.24059 mes * 30 días/mes = 7.12177 días
Entonces la respuesta aproximada será:
n = 9 meses y 7 días
Ejemplo de cálculo 2 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo
Ejemplo:
Una deuda de 15000 $ contraída hace 2 meses vencimiento en 4 meses y con tasa de interés de 24 % NT; y otra de 25000 $ contraída hace 1 mes con vencimiento en 8 meses y con tasa de interés al 28 % NS, se van a cancelar mediante dos pagos de igual valor, efectuados el primero el día de hoy y el segundo en 6 meses. Con un interés del 30 % NM (esto significa que el rendimiento normal de la moneda es del 30 % NM) determinar el valor de los pagos.
Solución:
Primero se debe liquidar el valor de cada deuda en la fecha de vencimiento.
15000(1+0.06)2=16854
25000(1+0.14)1.5=30429.67
Si se pone la fecha focal en 6 meses, la gráfica del flujo de caja será:
El planteamiento de la ecuación de valor será: 16854*(1+0.025)2+30429.67*(1+0.025)-2 = x*(1+0.025)6+x
Despejando el valor de x de la anterior ecuación se obtendrá:
x=21609.84 $
