Relación entre tasa efectiva y tasa nominal –Interés compuesto
De lo visto anteriormente se puede concluir que la tasa nominal es igual a la efectiva multiplicada por el número de períodos que hay en un año, el número de períodos que hay en un año se lo representará por m. Así se llega a las siguientes fórmulas:
j = i × m
i = j/m
La tasa nominal anual se emplea en el interés simple porque esta tasa no tiene en cuenta la capitalización de intereses; la tasa efectiva o periódica es la que se debe usar en las fórmulas del interés compuesto.
Ejemplo:
a. Dado el 3 % efectivo mensual entonces m= 12 y j =3×12 = 36 % CM (convertible mensualmente) = 36 % NMV
b. Dado el 5 % EB (efectivo bimestral) entonces m= 6 y j= 5×6 = 30 % CB = 30 % NBV
c. Dado el 28 % NS entonces m=2 y se puede establecer que i=28/2 = 14 % ES
Interés compuesto y Tasa nominal
La tasa del año se la denominará nominal y se la representará por j, pero como dentro del año puede haber varias liquidaciones habrá que indicar cuántas hay.
En el ejemplo inicial referido al interés compuesto que se presentó con anterioridad, se tiene que i = 10 % ET (o periódica trimestral) lo que significa que la tasa del trimestre es el 10 % y como un año tiene 4 trimestres puede concluirse que para todo el año se cobrará el 40 % pero trimestralmente se liquidarán los intereses, esto se puede representar de 3 maneras diferentes:
- Primera forma: por j= 40 % CT donde CT significa convertible trimestralmente o capitalizable trimestralmente.
- Segunda forma: por j= 40 % NT que significa nominal trimestral.
- Tercera forma: por j= 40 % TV que significa que en todo el año se paga el 40 % pero que se paga por trimestres vencidos. Esta última forma se presta para equívocos en varios países.
Si el período es el semestral i =15 % ES = 15 % período semestre y j= 30 % CS = 30 % NS = 30 % SV.
Interés compuesto y Tasa efectiva
La tasa del período se la denominará tasa efectiva y se la representará por i, en el ejemplo inicial referido al interés compuesto que se presentó con anterioridad, la tasa efectiva corresponde al 10 %, pero como el período es el trimestre se dirá que la tasa es el 10 % efectivo trimestral y se puede escribir como 10 % ET, cuando los períodos sean meses se puede decir que la tasa es efectiva mensual, cuando sean semestres se dirá que la tasa es efectiva semestral y así sucesivamente. Como se puede observar existen muchas posibilidades por lo que a continuación de la tasa debe indicarse la efectividad por ejemplo 3 % EM significa que es efectiva mensual.
En el caso particular en que el período es el año se dirá que la tasa es efectiva anual y solo en este caso puede omitirse el nombre de efectivo anual porque toda tasa que no tenga nombre se asume que es efectiva anual, por tal motivo i = 35 % = 35 % EA, pero se hace énfasis que esto es válido solo en el caso de las tasas efectivas anuales.
En algunos textos se asume que la única tasa efectiva es la anual, pero esta restricción dificulta algunas operaciones, razón por la cual es más aconsejable definir la tasa periódica como tasa efectiva.
Interés compuesto – Concepto (Segunda parte)
Caso del interés compuesto:
La representación gráfica del flujo de efectivo será la siguiente:
Al final del primer trimestre se liquidan los primeros intereses 1000*0.10 = 100 $ y se acumulan al capital para obtener el primer monto de 1100 $.Al final del segundo período se liquidan los segundos intereses, pero esta vez sobre el monto anterior, esto es: 1100*0.10 = 1100 $ y al acumularlo se obtiene un nuevo monto 1100 + 110 = 1210 $ y así sucesivamente hasta llegar a un monto final de 1464.10 $.
Algebraicamente se pude representar el resultado anterior en la siguiente forma:
| Período | Capital inicial | Interés | Capital final |
| 1 2 3 …. …. …. n | P P(1+i) P(1+i)2 …. …. …. P(1+i)n-1 | Pi P(1+i)i P(1+i)2i …. …. …. P(1+i)n-1i | S1=P+Pi=P(1+i) S2= P(1+i)+ P(1+i)i=P(1+i)2 S3= P(1+i)2+ P(1+i)2i= P(1+i)3 .... .... .... Sn= P(1+i)n-1+ P(1+i)n-1i= P(1+i)n |
Con lo que se llega a concluir que la fórmula del interés compuesto es:
S=P(1+i)n
Donde:
S = Valor final o monto
P = Valor presente o inicial
i = Tasa de interés
n = Número de períodos
Interés compuesto – Concepto (Primera parte)
La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta la reinversión de los intereses, es por esta razón que este tópico es de gran importancia en el desarrollo de casi toda actividad financiera.
Concepto
La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto esta en que en el interés simple los intereses deben ser pagados cada vez que se liquidan mientras que en el interés compuesto cada vez que se liquidan se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a liquidar intereses.
Ejemplo:
Supóngase que se tiene un capital de 1000 $ que será invertido al 10 % trimestralmente durante un año, primero se hace la inversión a interés simple y después se realiza la inversión a interés compuesto. El comportamiento del capital a lo largo del año en cada caso se muestra en las siguientes gráficas.
Caso del interés simple:
Al final del primer trimestre se liquida un interés de 1000*0.10 = 100 $ y se pagan, en consecuencia el capital de 1000 $ no se modifica y así para el siguiente trimestre la liquidación de intereses vuelve a ser 100 $, solamente al final del cuarto trimestre el monto a pagar será de 1100 $ correspondiente a los 1000 $ de la inversión inicial más los 100 $ de los intereses.
Interés simple – Descuentos y pagos parciales – Ejemplo de cálculo
Pagos parciales
Hay ocasiones en que al otorgar un crédito convenga que, a más tardar, será cancelado en una fecha convenida, pero el deudor puede hacer abonos parciales a la deuda. Cada vez que se haga un pago parcial se liquidarán los intereses hasta la fecha en que se efectúe y el excedente del pago se abonará a la deuda. Con frecuencia este sistema es utilizado por el comercio en los créditos de consumo.
Ejemplo:
Una mercancía vale al contado 430000 $, si el 17 de marzo se paga una cuota inicial del 30 % y el saldo será cancelado con interés racional del 32 % y un plazo máximo de 4 meses, determinar el valor final que deberá pagarse al vencimiento suponiendo que se efectuaron los siguientes pagos parciales:
a. El 25 de abril 130000 $
b. El 18 de junio 50000 $
c. El 7 de julio 94000 $
Solución:
Como el plazo máximo es de 4 meses que se cuentan a partir de la fecha de compra se concluye que la fecha de vencimiento del crédito será el 17 de julio. Cada vez que se haga un pago se liquidan los intereses causados hasta esa fecha, se descuenta el abono para encontrar un nuevo saldo.
A continuación se muestra la secuencia de cálculos para la obtención del resultado pedido en el ejemplo.
Deuda inicial (0.7*430000) 301000.00 $
Intereses causados hasta el 25 de abril (301000*0.32*39/365) 10291.73 $
Abono el 25 de abril 130000.00 $
Saldo el 25 de abril 181291.73 $
Intereses causados hasta el 18 de junio (181291.73*0.32*54/365) 8582.80 $
Abono el 18 de junio 50000.00 $
Saldo el 18 de junio 139874.53 $
Intereses causados hasta el 7 de julio (139874.53*0.32*19/365) 2329.96 $
Abono el 7 de julio 94000.00 $
Saldo el 7 de julio 48204.49 $
Intereses causados hasta el 17 de julio (48204.49*0.32*10/365) 422.61 $
Saldo al 17 de julio 48627.10 $
Por lo tanto si el 17 de julio el deudor no se presentar a cancelar la suma de 48627.10 $ entonces a partir de esa fecha se comienzan a cobrar intereses en mora.
Ejemplo de cálculo interés simple - descuentos en cadena
El valor inicial de una factura, es decir sin descuentos es de 1236150 $. Hallar el descuento promedio y el valor final de la factura cuando se conceden los siguientes descuentos sobre la misma factura:
a. Por pago al contado 10 %
b. Por compra al por mayor 25 %
c. Por temporada 8 %
Solución:
Para calcular el descuento promedio se aplica la siguiente fórmula:
d = 1-((1-d1)(1-d2)....(1-dn))
Reemplazando valores se tiene:
d = 1-((1-0.1)(1-0.25)(1-0.08))=0.379=37.9 %
Para hallar el valor final de la factura se aplica el descuento promedio al valor inicial, de esa manera se tendrá:
0.379*1236150 = 468500.85 $
Y si se quisiera averiguar el valor que hay que pagar basta con restar esta cantidad del valor inicial.
1236150 – 468500.85 = 767649.15 $
