Ingenieria Economica (Apuntes)

Interés simple - Descuentos en cadena (Segunda parte)

4. Descuento por temporada: a fin de incentivar las ventas en épocas de baja demanda las fábricas ofrecen un descuento adicional para los pedidos que sean cancelados dentro de ciertas fechas.

5. Descuento por fidelidad: también se conoce con el nombre de descuento por antigüedad, es un pequeño porcentaje que se otorga a los clientes más leales.

Las anteriores son las principales razones para otorgar descuentos, sin embargo estos nunca se suman unos con otros sino que una vez que se aplicó el primero al saldo de la factura se le aplica el siguiente descuento y así sucesivamente hasta agotarlos todos, la respuesta final no varía si se cambia el orden de aplicar los descuentos según se puede deducir del siguiente análisis:

Valor de la factura	Tasa de descuento	Valor de descuento	Valor de la factura después del descuento
A A(1-d1) A(1-d1)(1-d2) …. …. …. …. A(1-d1)(1-d2)…(1-dn-1)	d1 d2 d3 …. …. …. …. dn	Ad1 A(1-d1)d2 A(1-d1)(1-d2)d3 …. …. …. …. A(1-d1)(1-d2)…(1-dn-1)dn	A-Ad1= A(1-d1) A(1-d1)-A(1-d1)d2= A(1-d1)(1-d2) A(1-d1)(1-d2)-A(1-d1)(1-d2)d3= A(1-d1)(1-d2)(1-d3) .... .... .... A(1-d1)(1-d2)....(1-dn)

El descuento total será el valor inicial de la factura menos el valor final de la factura, esto es:

D = A(1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n)

D = A(1-((1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n)))

Al dividir el valor final de la factura entre el valor inicial de la misma factura y luego simplificando A se obtiene la fórmula par calcular la tasa promedio de descuento, que será:

d = 1-((1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n))

Puede observarse que en la serie de paréntesis (1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n) se puede cambiar el orden de los paréntesis y el resultado no se altera, por tal razón el orden de los descuentos no importa.

Interés simple - Descuentos en cadena (Primera parte)

Es usual que sobre una misma factura ocurran varios descuentos, tal es el caso cuando una fábrica vende mercancía a un almacén, en este caso la fábrica ofrece una serie de descuentos que son aplicables a la misma factura. Tales descuentos pueden ser:

1. Descuento por volumen: consiste en otorgar un descuento que será progresivo conforme al valor de la factura (en ocasiones el descuento se otorga con base en el número de unidades vendidas)

Este tipo de descuento intenta incentivar al comprador para que haga un pedido mayor con lo cual sus ganancias aumentarán al tener mayor descuento.

Un ejemplo de tabla de descuento al por mayor puede ser la siguiente:

2. Descuento por pronto pago: tiene por objeto incentivar al comprador a que pague lo más pronto posible, el descuento estará en relación inversa con el plazo para pagar la factura, un ejemplo de tabla puede ser:

3. Descuento por embalaje: hay almacenes que venden la mercancía empacada con el logotipo del fabricante; en ocasiones hacen el pedido y solicitan que llegue sin empacar, entonces la fábrica concede un descuento adicional igual al costo del empaque, otras veces puede ser que la mercancía llegue con un empaque más económico que el normal, o con un empaque de lujo el cual tendrá un recargo.

Interés simple - Tasa realmente cobrada en una operación de descuento y Ejemplo de aplicación

La tasa de descuento se aplica al valor final del documento, pero en el interés simple la tasa se aplica al valor inicial, en consecuencia con el mismo valor de tasa se obtendrán diferentes resultados de interés cobrado. Para calcular la tasa que realmente se cobra en una operación de descuento se aplica la fórmula del monto simple.

Ejemplo:

Una letra por valor de 600000 $ va a ser descontada por un banco 35 días antes del vencimiento al 38 %. Calcular la tasa bancaria que realmente está cobrando el banco.

Solución:

La gráfica del flujo de caja correspondiente al ejemplo puede ser representada de la siguiente manera:

Primero se calcula el valor de transacción o valor líquido aplicando la fórmula correspondiente que está dada por:

VT = S(1-dn)

VT = 600000(1-(0.38*35/360)) = 577833.33 $

Se puede notar entonces, que el banco invierte hoy 577833.33 $ para obtener a los 35 días 600000 $.

Para calcular la tasa bancaria que verdaderamente se está cobrando se aplica la fórmula que relaciona el valor presente y futuro en el interés simple. Por lo tanto se tiene:

S = P(1+in)

Despejando la tasa de interés se obtiene:

i = ((S/P)-1)/n o también i = (S-P)/(Pn)

Reemplazando los valores correspondientes:

i = (600000-577833.33)/(577833.33*(35/360)) = 0.3946

Por tanto la tasa de interés calculada es igual a 39.46 %, que es superior al 38 % que se cobra en la operación de descuento.

Interés simple - Ejemplo de cálculo valor nominal dado el valor de transacción y tasa de descuento

Ejemplo:

¿Cuál debe ser el valor nominal de un documento que va a ser descontado por un banco al 38 % nominal anual período anticipado entre el 17 de diciembre de 2008 y el 25 de enero de 2009 si el valor líquido es 637437 $?

Solución:

En primera instancia se calcula los días transcurridos entre las dos fechas que se mencionan en el ejercicio. El número de días calculado es igual a 39.

La gráfica del flujo de caja será el siguiente:

Si se despeja S de la fórmula del Valor de Transacción, se obtiene lo siguiente:

S = VT / (1-dn)

Reemplazando los valores dados en el ejercicio se obtendrá lo siguiente:

S = 637437 / (1- 0.38*(39/360)) = 664804.80 $

Por lo tanto el valor nominal buscado del documento será igual a 664804.80 $.

Ejemplo de cálculo tasa de descuento y descuento simple

Ejemplo:

Supóngase que el 17 de abril de 2009 una persona necesita comprar mercancías por valor de 800000 $ para surtir su almacén y además solicita a la fábrica un plazo de 3 meses para el pago de la factura. Naturalmente que la fábrica está interesada en hacer la venta y para ello le otorgará un crédito pero le exige un documento como seguridad del pago de la deuda a su vencimiento; éste puede ser una letra que quedará en poder de la fábrica y será cobrada a su vencimiento.

Los 800000 $ constituyen el valor nominal de la letra que tendrá por vencimiento el 17 de julio del mismo año.

Ahora supóngase que el 20 de junio a la fábrica se le presentó un gasto inesperado y que necesita dinero en efectivo para cubrir esta contingencia; la fábrica puede ir al banco “Rapidbank” a ofrecerle en venta la letra, pero es obvio que el banco no le pagará 800000 $ por el documento sino que sobre el valor nominal hará un descuento, es decir que cobrará un interés por anticipado sobre el valor final de la letra.

Ahora supóngase que el banco “Rapidbank” en ese tipo de operaciones cobra una tasa anticipada anual del 36 % simple bancario (d=36 %) aplicable al valor final del documento. Es a esta tasa a la que se denominará tasa de descuento.

¿Cuál es el valor líquido?

Solución:

Por ser un interés bancario habrá que calcular los días exactos que transcurren entre la fecha de transacción 20 de junio y la fecha de vencimiento o maduración del documento 17 de julio.

Entonces el primer paso para calcular el descuento será hallar los días de diferencia entre esas dos fechas.

Realizando la diferencia se encuentra que entre el 20 de junio y el 17 de julio hay 27 días.

Continuando con el problema, la gráfica del flujo de caja será la siguiente:

El valor líquido o valor de transacción es la cantidad que le entregará el banco a la fábrica y se puede calcular mediante la fórmula establecida con anterioridad.

VT = S(1-dn) = 800000×(1-(0.36×27/360)) = 778400 $

En consecuencia, la fábrica recibirá el 20 de junio 778400 $ con lo cual posiblemente solucione su problema de liquidez.

Interés simple – Definición de Interés anticipado, Tasa de descuento, Descuento simple, Valor de Transacción

Interés anticipado

El interés anticipado consiste en cobrar los intereses al principio del período.

Tasa anticipada o tasa de descuento

La tasa anticipada es la que genera el interés anticipado y se la puede representar por “d”, también es denominada tasa de descuento.

Descuento simple

El descuento simple consiste en cobrar intereses por anticipado calculados sobre el valor final.

Ya se vio que la fórmula del interés simple vencido es I = p×i×n y por similitud, la fórmula del descuento que corresponde al interés simple anticipado será:

D = S×d×n

Donde D es la cantidad descontada.

Valor líquido o valor de transacción

Se denomina valor líquido o valor de transacción, al valor nominal menos el descuento. De acuerdo a esta definición la fórmula del valor líquido será:

VT = S – D

VT = S - S×d×n = S×(1-(d×n))

Finalmente:

VT = S(1-dn)

Para ilustrar los conceptos anteriores se utilizará el siguiente ejemplo:

Interés simple – Ejemplo de cálculo tasa de interés

A continuación se presenta un ejemplo de cálculo de la tasa de interés cuando se trata de interés simple.

Ejemplo:

¿A qué tasa de interés comercial, 30000 $ se convertirán en 35000 $ en 6 meses?

Solución:

La representación gráfica del flujo de caja será la siguiente:

Al aplicar la fórmula del monto o la fórmula del valor presente se puede obtener la tasa de interés que requiere el ejercicio.

Usando la fórmula del valor presente se tiene:

30000 = 35000 / (1+(i×(6/12)))

Despejando la tasa de interés i, se puede obtener que:

i = 0.3333 = 3.33 %

Lo cual lleva a concluir que una tasa de interés del 33.33 % se conseguirá que los 30000 $ de hoy valgan 35000 $ luego de 6 meses.

Interés simple – Capital final y ejemplo de cálculo capital final

Capital inicial

Si se despeja P de la fórmula del monto se tiene una nueva fórmula que permite calcular el valor inicial a partir del valor final presentado por la fórmula:

P = S / (1+in)

Ejemplo de cálculo capital inicial:

¿Cuánto dinero debe depositarse hoy 25 de abril en una cuenta que paga el 23 % simple real para que el 28 de julio se pueda retirar 60000 $?

Solución:

Puesto que no se especifica el año, en los cálculos se asumirá un año que no sea bisiesto.

La representación del flujo de caja sería la siguiente:El tiempo entre las dos fechas indicadas es de 94 días, y empleando la fórmula de cálculo indicada anteriormente se obtiene lo siguiente:

P = 60000 / (1+0.23×(94/365)) = 56644.77 $.

Por lo tanto se debe depositar 56644.77 $ hoy 25 de abril para poder tener 60000 $ el 28 de julio.

Interés simple – Gráfica del flujo de caja, capital final y ejemplo de cálculo capital final

Gráfica del flujo de caja

A fin de facilitar la comprensión de los problemas mediante una gráfica, se ha adoptado la siguiente convención: la línea horizontal representa el tiempo y allí se escribe las fechas y períodos de tiempo; de esta línea salen unas flechas hacia arriba y otras hacia abajo, las que están hacia arriba representan ingresos y las que están hacia abajo representan egresos.

Capital final

Es el capital inicial mas los intereses, también se le denomina monto, valor final, valor futuro, la suma o acumulado y se lo puede representar por S. De acuerdo a la definición la fórmula será:

S = P+I, y si se reemplaza a I por P×i×n se tendrá que:

S = P + P×i×n y factorizando P se tiene:

S = P(1+in)

Ejemplo de cálculo capital final:

Calcular el monto exacto de 30000 $ desde el 23 de agosto de 2008 hasta el 27 de octubre del mismo año al 35 % nominal anual.

Solución:

El problema consiste en invertir 30000 $ el día 23 de agosto (implica una flecha hacia abajo por ser un egreso) y recuperar S $ el día 27 de octubre (flecha hacia arriba por ser un ingreso).

Primero se calcula los días exactos que hay entre esas dos fechas; para ello se puede usar una tabla de días, un almanaque o cualquier otro procedimiento moderno como una calculadora financiera o una hoja electrónica.

Procediendo de alguna de las maneras señaladas se tiene que entre el 27 de octubre y el 23 de agosto hay 65 días.

La representación del flujo correspondiente al ejemplo sería:

Entonces empleando la fórmula establecida con anterioridad el valor futuro o capital final será:

S = 30000 × (1+0.35×(65/365)) = 31869.86 $

Ejemplo de cálculo serie de Gradiente aritmético y su relación con el presente y futuro

Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va disminuyendo a una cantidad constante de $ 500 por año. La magnitud del primer depósito que se hace es de $ 10,000 y el último de $ 5,500. Si en la cuenta de ahorros se gana un 15% anual ¿de que magnitud debe ser un deposito anual constante durante el mismo tiempo para que el monto acumulado sea el mismo?

Solución:

La representación de los flujos será la siguiente:

Aplicando la fórmula correspondiente se encuentra lo que pide el ejercicio.

A = - 8,308.40

Por lo tanto para que el monto acumulado sea el mismo, se debería realizar un depósito anual constante de 8308.40.

Derivación de Fórmulas del valor del dinero en el tiempo - Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente (Tercera parte)

Como P = F / (1+i)ⁿ :

Al despejar F, pasando (1+i)ⁿ al otro lado de la ecuación, se determina la formula para obtener el valor futuro equivalente de un gradiente aritmético conocido, como:

Tomando en consideración la equivalencia entre valor futuro y una anualidad, y desarrollando en las anteriores fórmulas, se obtendrá:

Por lo que una anualidad A dado un gradiente G, es:

Al momento de determinar el valor presente equivalente o valor anual equivalente de una serie de flujos con gradiente uniforme (aritmético), recordar que el primer flujo de la serie se encuentra al final del período y no involucra un gradiente, sino un pago base; por lo que:

Derivación de Fórmulas del valor del dinero en el tiempo - Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente (Segunda parte)

Determinación del presente de la serie gradiente uniforme (aritmético):

Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1+i), resulta:

Restando las ecuaciones obtenidas:

Realizando el despeje correspondiente: La expresión entre llaves es el valor presente de una serie uniformes de 1 a n años. Factorizando, se determina la formula para obtener el valor presente equivalente de un gradiente aritmético conocido, como:

Derivación de Fórmulas del valor del dinero en el tiempo - Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente (Primera parte)

Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una cierta cantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada período. También, es posible que ciertos proyectos generen flujos que se incrementen un cierto porcentaje constante por cada período. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supone que los flujos por el efecto de la inflación crecen un cierto porcentaje constante por período.

A esta razón de crecimiento constante (cantidad o porcentaje) en ingeniería económica se le conoce con el nombre de “Gradiente”.

Gradiente Aritmético:

Un gradiente aritmético (G) o uniforme es una serie de flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir que el flujo de caja, ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente.

Al desarrollar una formula que se pueda utilizar para gradientes aritméticos o uniformes es conveniente suponer que el primer flujo de la serie se encuentra al final del período 1 y no involucra un gradiente, sino un pago base.

G = Cambio uniforme aritmético en la magnitud de las entradas o en los ingresos o desembolsos para un período de tiempo.

El valor de G puede ser positivo o negativo. Si se ignora el pago base, podríamos construir un diagrama generalizado de flujo de caja de gradiente creciente uniforme como se muestra en la siguiente figura.

Si en una cuenta de ahorros que paga el 30% anual se depositan $ 10’000,000 anuales durante 5 años. ¿Qué cantidad acumulada al final del año 10 tendrá, si el primer depósito se hizo al final del año 1?

Solución:
La representación del flujo es:

Opción uno:

Llevar los flujos al final del año 10.

Aplicando la fórmula:

F_n=A((1+i)ⁿ-1)/i

Se obtiene:

Opción dos:

Traer todos los flujos al presente y posteriormente encontrar su valor equivalente al final del año 10.

Aplicando la fórmula:

P=A (1+i)ⁿ-1)/(i(1+i)ⁿ)

Se obtiene:

Derivación de Fórmulas del valor del dinero en el tiempo - Serie de Flujos Uniformes y su relación con el Presente y el Futuro (Segunda parte)

Para determinar la equivalencia en el presente de una serie uniforme de flujos de efectivo; dado que F = P(1+i)ⁿ ; entonces:

Por lo que el valor presente equivalente (P) de una serie de flujos uniformes, que se da durante n períodos con un factor de cambio de valor del dinero a través del tiempo i, se puede determinar mediante la formula:

Por despeje, se encuentra la formula para obtener una anualidad a partir de un valor presente conocido, como:

Derivación de Fórmulas del valor del dinero en el tiempo - Serie de Flujos Uniformes y su relación con el Presente y el Futuro (Primera parte)

Para determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo, es necesario introducir una nueva variable, la cual denota por A.

A = Representa el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante n períodos.
F = A + A(1+i)¹ + A(1+i)² + A(1+i)³ + .... + A(1+i)^n-1 (1)

Multiplicando (1) por (1+i):

F(1+i) = A(1+i)¹ + A(1+i)² + A(1+i)³ + .... + A(1+i)^n-1 + A(1+i)ⁿ (2)

F (1+i) = A[(1+i)¹ + (1+i)² + (1+i)³ + .... + (1+i)^n-1 + (1+i)ⁿ] (3)

Restando (3) – (1):

Desarrollando ambos lados: F(1+i) – F = - A + A(1+i)ⁿ

F + Fi – F = A [-1 +(1+i)ⁿ]

F = A [-1 + (1+i)ⁿ] / i

Por lo que el valor futuro equivalente (F) de una serie de flujos uniformes, que se da durante n períodos con un factor de cambio de valor del dinero a través del tiempo i, se puede determinar mediante la formula:Por despeje, se encuentra la formula para obtener una anualidad a partir de un valor futuro conocido, como:

Derivación de Fórmulas del valor del dinero en el tiempo - Determinación de Flujos Únicos

Si se invierte una cantidad P, ahora con la cantidad producida por una tasa de i por un año ¿cuál será el principal y el interés que se han acumulado después de n años?.

El diagrama de flujo para este acuerdo financiero aparece en la siguiente figura:

Desarrollo de un factor de pago único compuesto

Año	Cantidad al comienzo del año	Interés devengado durante el año	Cantidad compuesta al final del año
1 2 3 . . n	P P(1+i) P(1+i)2 . . P(1+i)n-1	Pi P(1+i) i P(1+i)2 i . . P(1+i)n-1 i	P + Pi = P(1+i) P(1+i) + P(1+i) i = P(1+i)(1+i) P(1+i)2 + P(1+i)2 i = P(1+i)(1+i)(1+i) . . P(1+i)n-1 + P(1+i)n-1 i = P(1+i)n = F

Por lo que el valor futuro y presente equivalente de una cantidad que cambia su valor a una tasa i durante n años es:

F = P (1+i)^n y P = F / (1+i)^n

Respectivamente.