Determinación del presente de la serie gradiente uniforme (aritmético):
Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1+i), resulta:
Restando las ecuaciones obtenidas:
La expresión entre llaves es el valor presente de una serie uniformes de 
Factorizando, se determina la formula para obtener el valor presente equivalente de un gradiente aritmético conocido, como:
Derivación de Fórmulas del valor del dinero en el tiempo - Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente (Primera parte)
Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una cierta cantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada período. También, es posible que ciertos proyectos generen flujos que se incrementen un cierto porcentaje constante por cada período. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supone que los flujos por el efecto de la inflación crecen un cierto porcentaje constante por período.
A esta razón de crecimiento constante (cantidad o porcentaje) en ingeniería económica se le conoce con el nombre de “Gradiente”.
Gradiente Aritmético:
Un gradiente aritmético (G) o uniforme es una serie de flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir que el flujo de caja, ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente.
Al desarrollar una formula que se pueda utilizar para gradientes aritméticos o uniformes es conveniente suponer que el primer flujo de la serie se encuentra al final del período 1 y no involucra un gradiente, sino un pago base.
G = Cambio uniforme aritmético en la magnitud de las entradas o en los ingresos o desembolsos para un período de tiempo.
El valor de G puede ser positivo o negativo. Si se ignora el pago base, podríamos construir un diagrama generalizado de flujo de caja de gradiente creciente uniforme como se muestra en la siguiente figura.
Si en una cuenta de ahorros que paga el 30% anual se depositan $ 10’000,000 anuales durante 5 años. ¿Qué cantidad acumulada al final del año 10 tendrá, si el primer depósito se hizo al final del año 1?
Solución:
La representación del flujo es:
Opción uno:
Llevar los flujos al final del año 10.
Aplicando la fórmula:
Fn=A((1+i)n-1)/i
Se obtiene:
Opción dos:
Traer todos los flujos al presente y posteriormente encontrar su valor equivalente al final del año 10.
Aplicando la fórmula:
P=A (1+i)n-1)/(i(1+i)n)
Se obtiene:
Para determinar la equivalencia en el presente de una serie uniforme de flujos de efectivo; dado que F = P(1+i)n ; entonces:
Por lo que el valor presente equivalente (P) de una serie de flujos uniformes, que se da durante n períodos con un factor de cambio de valor del dinero a través del tiempo i, se puede determinar mediante la formula:
Por despeje, se encuentra la formula para obtener una anualidad a partir de un valor presente conocido, como:
Para determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo, es necesario introducir una nueva variable, la cual denota por A.
A = Representa el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante n períodos.
F = A + A(1+i)1 + A(1+i)2 + A(1+i)3 + .... + A(1+i)n-1 (1)
Multiplicando (1) por (1+i):
F(1+i) = A(1+i)1 + A(1+i)2 + A(1+i)3 + .... + A(1+i)n-1 + A(1+i)n (2)
F (1+i) = A[(1+i)1 + (1+i)2 + (1+i)3 + .... + (1+i)n-1 + (1+i)n] (3)
Restando (3) – (1):
Desarrollando ambos lados: F(1+i) – F = - A + A(1+i)n
F + Fi – F = A [-1 +(1+i)n]
F = A [-1 + (1+i)n] / i
Por lo que el valor futuro equivalente (F) de una serie de flujos uniformes, que se da durante n períodos con un factor de cambio de valor del dinero a través del tiempo i, se puede determinar mediante la formula:
Por despeje, se encuentra la formula para obtener una anualidad a partir de un valor futuro conocido, como:
Si se invierte una cantidad P, ahora con la cantidad producida por una tasa de i por un año ¿cuál será el principal y el interés que se han acumulado después de n años?.
El diagrama de flujo para este acuerdo financiero aparece en la siguiente figura:
Desarrollo de un factor de pago único compuesto
| Año | Cantidad al comienzo del año | Interés devengado durante el año | Cantidad compuesta al final del año |
| 1 2 3 . . n | P P(1+i) P(1+i)2 . . P(1+i)n-1 | Pi P(1+i) i P(1+i)2 i . . P(1+i)n-1 i | P + Pi = P(1+i) P(1+i) + P(1+i) i = P(1+i)(1+i) P(1+i)2 + P(1+i)2 i = P(1+i)(1+i)(1+i) . . P(1+i)n-1 + P(1+i)n-1 i = P(1+i)n = F |
Por lo que el valor futuro y presente equivalente de una cantidad que cambia su valor a una tasa i durante n años es:
F = P (1+i)^n y P = F / (1+i)^n
Respectivamente.
Supóngase que una persona depositó $ 1 000 en el banco el 1º de enero del 2007 y pudo retirar $1750 el 31 de diciembre de 2009. La representación de ese hecho, desde el punto de vista de la persona que deposita, se ilustra en
El momento en que la persona deposita o inicio del periodo de análisis, 1º de enero del 2007 en el ejemplo, se designa como el presente o, simplemente, P. El momento del retiro del dinero o fin del periodo de análisis, 31 de diciembre del 2009, se designa como futuro, o F. Obsérvese que son tres años completos los que permanece el dinero depositado, los que aparecen numerados en la parte superior de la línea de tiempo. En ingeniería económica no es usual representar al tiempo con los años calendario sino simplemente como periodo de tiempo, por lo que al presente corresponde el periodo cero.
En la pasada gráfica se ejemplifica el punto de vista del ahorrador en el momento del depósito, y aparece una flecha hacia abajo o salida de dinero para él. Lo contrario sucede en el momento del retiro. Desde el punto de vista del banco que recibe el depósito, la gráfica sería:
Por lo anterior, cabe mencionar que un problema puede ser representado desde cualquier punto de vista, lo cual no influye en el resultado numérico pero sí en la decisión que pueda tomarse.
