Ingenieria Economica (Apuntes)

Interés simple – Descuentos y pagos parciales – Ejemplo de cálculo

Pagos parciales

Hay ocasiones en que al otorgar un crédito convenga que, a más tardar, será cancelado en una fecha convenida, pero el deudor puede hacer abonos parciales a la deuda. Cada vez que se haga un pago parcial se liquidarán los intereses hasta la fecha en que se efectúe y el excedente del pago se abonará a la deuda. Con frecuencia este sistema es utilizado por el comercio en los créditos de consumo.

Ejemplo:

Una mercancía vale al contado 430000 $, si el 17 de marzo se paga una cuota inicial del 30 % y el saldo será cancelado con interés racional del 32 % y un plazo máximo de 4 meses, determinar el valor final que deberá pagarse al vencimiento suponiendo que se efectuaron los siguientes pagos parciales:

a. El 25 de abril 130000 $

b. El 18 de junio 50000 $

c. El 7 de julio 94000 $

Solución:

Como el plazo máximo es de 4 meses que se cuentan a partir de la fecha de compra se concluye que la fecha de vencimiento del crédito será el 17 de julio. Cada vez que se haga un pago se liquidan los intereses causados hasta esa fecha, se descuenta el abono para encontrar un nuevo saldo.

A continuación se muestra la secuencia de cálculos para la obtención del resultado pedido en el ejemplo.

Deuda inicial (0.7*430000) 301000.00 $

Intereses causados hasta el 25 de abril (301000*0.32*39/365) 10291.73 $

Abono el 25 de abril 130000.00 $

Saldo el 25 de abril 181291.73 $

Intereses causados hasta el 18 de junio (181291.73*0.32*54/365) 8582.80 $

Abono el 18 de junio 50000.00 $

Saldo el 18 de junio 139874.53 $

Intereses causados hasta el 7 de julio (139874.53*0.32*19/365) 2329.96 $

Abono el 7 de julio 94000.00 $

Saldo el 7 de julio 48204.49 $

Intereses causados hasta el 17 de julio (48204.49*0.32*10/365) 422.61 $

Saldo al 17 de julio 48627.10 $

Por lo tanto si el 17 de julio el deudor no se presentar a cancelar la suma de 48627.10 $ entonces a partir de esa fecha se comienzan a cobrar intereses en mora.

Ejemplo de cálculo interés simple - descuentos en cadena

El valor inicial de una factura, es decir sin descuentos es de 1236150 $. Hallar el descuento promedio y el valor final de la factura cuando se conceden los siguientes descuentos sobre la misma factura:

a. Por pago al contado 10 %

b. Por compra al por mayor 25 %

c. Por temporada 8 %

Solución:

Para calcular el descuento promedio se aplica la siguiente fórmula:

d = 1-((1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n))

Reemplazando valores se tiene:

d = 1-((1-0.1)(1-0.25)(1-0.08))=0.379=37.9 %

Para hallar el valor final de la factura se aplica el descuento promedio al valor inicial, de esa manera se tendrá:

0.379*1236150 = 468500.85 $

Y si se quisiera averiguar el valor que hay que pagar basta con restar esta cantidad del valor inicial.

1236150 – 468500.85 = 767649.15 $

Interés simple - Descuentos en cadena (Segunda parte)

4. Descuento por temporada: a fin de incentivar las ventas en épocas de baja demanda las fábricas ofrecen un descuento adicional para los pedidos que sean cancelados dentro de ciertas fechas.

5. Descuento por fidelidad: también se conoce con el nombre de descuento por antigüedad, es un pequeño porcentaje que se otorga a los clientes más leales.

Las anteriores son las principales razones para otorgar descuentos, sin embargo estos nunca se suman unos con otros sino que una vez que se aplicó el primero al saldo de la factura se le aplica el siguiente descuento y así sucesivamente hasta agotarlos todos, la respuesta final no varía si se cambia el orden de aplicar los descuentos según se puede deducir del siguiente análisis:

Valor de la factura	Tasa de descuento	Valor de descuento	Valor de la factura después del descuento
A A(1-d1) A(1-d1)(1-d2) …. …. …. …. A(1-d1)(1-d2)…(1-dn-1)	d1 d2 d3 …. …. …. …. dn	Ad1 A(1-d1)d2 A(1-d1)(1-d2)d3 …. …. …. …. A(1-d1)(1-d2)…(1-dn-1)dn	A-Ad1= A(1-d1) A(1-d1)-A(1-d1)d2= A(1-d1)(1-d2) A(1-d1)(1-d2)-A(1-d1)(1-d2)d3= A(1-d1)(1-d2)(1-d3) .... .... .... A(1-d1)(1-d2)....(1-dn)

El descuento total será el valor inicial de la factura menos el valor final de la factura, esto es:

D = A(1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n)

D = A(1-((1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n)))

Al dividir el valor final de la factura entre el valor inicial de la misma factura y luego simplificando A se obtiene la fórmula par calcular la tasa promedio de descuento, que será:

d = 1-((1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n))

Puede observarse que en la serie de paréntesis (1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n) se puede cambiar el orden de los paréntesis y el resultado no se altera, por tal razón el orden de los descuentos no importa.

Interés simple - Descuentos en cadena (Primera parte)

Es usual que sobre una misma factura ocurran varios descuentos, tal es el caso cuando una fábrica vende mercancía a un almacén, en este caso la fábrica ofrece una serie de descuentos que son aplicables a la misma factura. Tales descuentos pueden ser:

1. Descuento por volumen: consiste en otorgar un descuento que será progresivo conforme al valor de la factura (en ocasiones el descuento se otorga con base en el número de unidades vendidas)

Este tipo de descuento intenta incentivar al comprador para que haga un pedido mayor con lo cual sus ganancias aumentarán al tener mayor descuento.

Un ejemplo de tabla de descuento al por mayor puede ser la siguiente:

2. Descuento por pronto pago: tiene por objeto incentivar al comprador a que pague lo más pronto posible, el descuento estará en relación inversa con el plazo para pagar la factura, un ejemplo de tabla puede ser:

3. Descuento por embalaje: hay almacenes que venden la mercancía empacada con el logotipo del fabricante; en ocasiones hacen el pedido y solicitan que llegue sin empacar, entonces la fábrica concede un descuento adicional igual al costo del empaque, otras veces puede ser que la mercancía llegue con un empaque más económico que el normal, o con un empaque de lujo el cual tendrá un recargo.

Interés simple - Tasa realmente cobrada en una operación de descuento y Ejemplo de aplicación

La tasa de descuento se aplica al valor final del documento, pero en el interés simple la tasa se aplica al valor inicial, en consecuencia con el mismo valor de tasa se obtendrán diferentes resultados de interés cobrado. Para calcular la tasa que realmente se cobra en una operación de descuento se aplica la fórmula del monto simple.

Ejemplo:

Una letra por valor de 600000 $ va a ser descontada por un banco 35 días antes del vencimiento al 38 %. Calcular la tasa bancaria que realmente está cobrando el banco.

Solución:

La gráfica del flujo de caja correspondiente al ejemplo puede ser representada de la siguiente manera:

Primero se calcula el valor de transacción o valor líquido aplicando la fórmula correspondiente que está dada por:

VT = S(1-dn)

VT = 600000(1-(0.38*35/360)) = 577833.33 $

Se puede notar entonces, que el banco invierte hoy 577833.33 $ para obtener a los 35 días 600000 $.

Para calcular la tasa bancaria que verdaderamente se está cobrando se aplica la fórmula que relaciona el valor presente y futuro en el interés simple. Por lo tanto se tiene:

S = P(1+in)

Despejando la tasa de interés se obtiene:

i = ((S/P)-1)/n o también i = (S-P)/(Pn)

Reemplazando los valores correspondientes:

i = (600000-577833.33)/(577833.33*(35/360)) = 0.3946

Por tanto la tasa de interés calculada es igual a 39.46 %, que es superior al 38 % que se cobra en la operación de descuento.

Interés simple - Ejemplo de cálculo valor nominal dado el valor de transacción y tasa de descuento

Ejemplo:

¿Cuál debe ser el valor nominal de un documento que va a ser descontado por un banco al 38 % nominal anual período anticipado entre el 17 de diciembre de 2008 y el 25 de enero de 2009 si el valor líquido es 637437 $?

Solución:

En primera instancia se calcula los días transcurridos entre las dos fechas que se mencionan en el ejercicio. El número de días calculado es igual a 39.

La gráfica del flujo de caja será el siguiente:

Si se despeja S de la fórmula del Valor de Transacción, se obtiene lo siguiente:

S = VT / (1-dn)

Reemplazando los valores dados en el ejercicio se obtendrá lo siguiente:

S = 637437 / (1- 0.38*(39/360)) = 664804.80 $

Por lo tanto el valor nominal buscado del documento será igual a 664804.80 $.

Ejemplo de cálculo tasa de descuento y descuento simple

Ejemplo:

Supóngase que el 17 de abril de 2009 una persona necesita comprar mercancías por valor de 800000 $ para surtir su almacén y además solicita a la fábrica un plazo de 3 meses para el pago de la factura. Naturalmente que la fábrica está interesada en hacer la venta y para ello le otorgará un crédito pero le exige un documento como seguridad del pago de la deuda a su vencimiento; éste puede ser una letra que quedará en poder de la fábrica y será cobrada a su vencimiento.

Los 800000 $ constituyen el valor nominal de la letra que tendrá por vencimiento el 17 de julio del mismo año.

Ahora supóngase que el 20 de junio a la fábrica se le presentó un gasto inesperado y que necesita dinero en efectivo para cubrir esta contingencia; la fábrica puede ir al banco “Rapidbank” a ofrecerle en venta la letra, pero es obvio que el banco no le pagará 800000 $ por el documento sino que sobre el valor nominal hará un descuento, es decir que cobrará un interés por anticipado sobre el valor final de la letra.

Ahora supóngase que el banco “Rapidbank” en ese tipo de operaciones cobra una tasa anticipada anual del 36 % simple bancario (d=36 %) aplicable al valor final del documento. Es a esta tasa a la que se denominará tasa de descuento.

¿Cuál es el valor líquido?

Solución:

Por ser un interés bancario habrá que calcular los días exactos que transcurren entre la fecha de transacción 20 de junio y la fecha de vencimiento o maduración del documento 17 de julio.

Entonces el primer paso para calcular el descuento será hallar los días de diferencia entre esas dos fechas.

Realizando la diferencia se encuentra que entre el 20 de junio y el 17 de julio hay 27 días.

Continuando con el problema, la gráfica del flujo de caja será la siguiente:

El valor líquido o valor de transacción es la cantidad que le entregará el banco a la fábrica y se puede calcular mediante la fórmula establecida con anterioridad.

VT = S(1-dn) = 800000×(1-(0.36×27/360)) = 778400 $

En consecuencia, la fábrica recibirá el 20 de junio 778400 $ con lo cual posiblemente solucione su problema de liquidez.

Interés simple – Definición de Interés anticipado, Tasa de descuento, Descuento simple, Valor de Transacción

Interés anticipado

El interés anticipado consiste en cobrar los intereses al principio del período.

Tasa anticipada o tasa de descuento

La tasa anticipada es la que genera el interés anticipado y se la puede representar por “d”, también es denominada tasa de descuento.

Descuento simple

El descuento simple consiste en cobrar intereses por anticipado calculados sobre el valor final.

Ya se vio que la fórmula del interés simple vencido es I = p×i×n y por similitud, la fórmula del descuento que corresponde al interés simple anticipado será:

D = S×d×n

Donde D es la cantidad descontada.

Valor líquido o valor de transacción

Se denomina valor líquido o valor de transacción, al valor nominal menos el descuento. De acuerdo a esta definición la fórmula del valor líquido será:

VT = S – D

VT = S - S×d×n = S×(1-(d×n))

Finalmente:

VT = S(1-dn)

Para ilustrar los conceptos anteriores se utilizará el siguiente ejemplo: