Ingenieria Economica (Apuntes)

Anualidades ordinarias y anticipadas – El valor presente

Valor presente

El caso del valor presente se lo representa por an┐i en la notación actuarial y por (P/A,n,i%) en la notación tradicional y significará el valor presente de una anualidad de n pagos puestos en valor presente a la tasa i %.

La fórmula se obtiene al plantear la ecuación de valor con fecha focal al principio y trasladando todos los pagos a valor presente a la tasa i (de nuevo, no se pierde generalidad si se supone que todos los pagos son de 1$).

(P/A, n, i%) = an┐i = (1+i)^-1+(1+i)^-2+………+(1+i)^-n

Para simplificar la ecuación anterior, se puede seguir un procedimiento similar al realizado para el valor final; sin embargo el camino mas corto consiste en actualizar el valor final.

Luego se tendrá:

an┐i = Sn┐i (1+i)^-n

Si se reemplaza Sn┐i por su equivalente ((1+i)ⁿ-1)/i, se tendrá:

an┐i = [((1+i)ⁿ-1)/i](1+i)^-n = [1-(1+i)^-n)]/i

De donde se puede concluir que:

(P/A,n,i%) = an┐i = [1-(1+i)^-n)]/i

Las anteriores fórmulas fueron deducidas para una renta de 1 $, pero si la renta hubiese sido de R $, el valor final VF o el valor presente VP hubiese sido R veces mayor. Por la tanto se puede escribir lo siguiente:

VF = R Sn┐i

Y también

VP = R an┐i

Tasa de interés real resultante de incluir la inflación en el interés compuesto

Tasa deflactada o tasa real

Al hacer análisis sobre proyectos de inversión es necesario tener en cuenta que la inflación afecta la rentabilidad real de un proyecto y que siempre se desea obtener una rentabilidad superior a la inflación. Para calcular la rentabilidad real se puede hacer uso de la fórmula de tasa combinada, derivada anteriormente:

i = i₁+i₂+i₁i₂

Asumiendo que la inflación f=i₁, que la rentabilidad real i_r=i₂ y que la rentabilidad que en total paga es i, por tanto se tiene:

i=f+i_r+fi_r

Despejando i_r se tiene:

i_r =(i-f)/(1+f)

Tasas de interés combinadas resultantes de la devaluación en el interés compuesto

Tasas combinadas

En el ejemplo anterior el inversionista ganaría dos tasas, una la tasa de interés en dólares estadounidenses 6 % y otra tasa de devaluación 20 % (porque al finalizar el año va a recibir más pesos por el mismo dólar).

Cuando se combina una tasa i₁ con una tasa i₂ cono el objeto de facilitar los cálculos se puede utilizar la tasa combinada i. El siguiente análisis permitirá deducir una fórmula para hallar esa tasa.

El monto final de un período a la tasa i₁ será: (1+i₁)

El monto de $(1+i₁) a la tasa i₂ será: (1+i₁)(1+i₂)

El monto al final del mismo período se 1 $ a la tasa i será: (i+i)

Al igualar las dos últimas expresiones, se estaría igualando los montos y se tendrá: (1+i) = (1+i₁)(1+i₂)

Al despejar i de la última expresión se tiene:

i = i₁+i₂+i₁i₂

Ecuaciones de valor en el interés compuesto

Es muy frecuente cambiar una o varias obligaciones por otra u otras nuevas obligaciones. La solución de este problema es elemental y para solucionarlo es necesario usar una ecuación de valor, que es una igualdad de valores ubicados en una sola fecha denominada fecha focal.

La fecha focal se representa gráficamente por una línea a trazos y por las letras ff y es la fecha en que debe hacerse la igualdad entre ingresos y egresos. La ubicación de la fecha focal no altera la respuesta final, por tal motivo la ubicación de la fecha focal se deja a libre elección de la persona que va a resolver el problema. (En el interés simple, la posición de la fecha focal sí causa variación en la respuesta final y por esta razón normalmente es el acreedor quien decide dónde ubicarla).

El principio fundamental de una ecuación de valor, que viene a ser el mismo principio fundamental de las finanzas, establece que la sumatoria de los ingresos debe ser igual a la sumatoria de los egresos ambos en la fecha focal, esto es:

Σingresos = Σegresos (en la fecha focal)

Naturalmente que el traslado a la fecha focal de cada una de las cantidades debe hacerse usando la fórmula del monto o la fórmula del valor presente utilizando una tasa de interés llamada el rendimiento normal del dinero que es la tasa que en promedio cobra el sistema financiero.

El enunciado de una ecuación de valor también puede ser expresado de la siguiente manera:

ΣDeudas = ΣPagos (en la fecha focal)

Mirando un balance el principio puede ser expresado de la siguiente forma:

ΣActivos = ΣPasivos + capital (en la fecha focal)

Como en cualquier proyecto los ingresos se representan por flechas hacia arriba y los egresos se representan por flechas hacia abajo, entonces mirando la gráfica del flujo de caja se puede expresar el principio fundamental de una ecuación de valor de la siguiente manera alternativa:

Σde lo que está para arriba = Σde lo que está para abajo (en la fecha focal)

La sumatoria de los ingresos en unidades monetarias de hoy menos la sumatoria de los egresos en unidades monetarias de hoy recibe el nombre de valor presente neto o valor actual neto (se representa por VAN, VPN y en Excel se representa por VNA).

La tasa a la cual la sumatoria de los ingresos es igual a la sumatoria de los egresos se denomina tasa interna de retorno que en la generalidad de textos se representa por TIR.

Relación entre una tasa de interés anticipada y una tasa de interés vencida

La tasa de interés viene a ser la relación entre el interés ganado sobre el capital invertido, lo que significa que:

i =I / P

Según la fórmula del valor líquido o valor de transacción visto con anterioridad, se tiene que:

VL = S (1-dt)

Entonces, al final de un período VL = S(1-d) y teniendo en cuenta que P viene a ser el valor líquido se tendrá:

Como la tasa anticipada es la misma tasa de descuento, se tiene que conociendo una tasa anticipada se puede hallar la tasa vencida aplicando la fórmula:

i = d / (1-d)

La tasa d es una tasa de descuento que equivale a una tasa anticipada, por esta razón se la puede representar por i_a, de tal forma que la ecuación anterior se puede escribir como:

i = i_a / (1- i_a)

Si se despeja i_a de la anterior fórmula se llega a:

i_a = i / (1+i)

Naturalmente también existen las tasas nominales anticipadas que se representarán por j_a y por similitud con las tasas de interés vencidas se tendrá:

j_a = i_a*m

Y también

i_a = j_a / m

Equivalencia de tasas de interés en el interés compuesto – Definición (Segunda parte)

El monto final también se puede calcular usando la fórmula del interés compuesto como sigue:

S = P(1+i)ⁿ

S = 1000 (1+i)²

Es obvio, que de la gráfica anterior es fácil calcular el valor que tendrá la tasa i % pero no se obtendrá el valor de forma directa, sino que se seguirá un camino más largo con el fin de buscar otro objetivo.

Como el resultado final debe ser igual en ambos casos se tendrá que:

S = 1000 (1+0.1)⁴ = 1000 (1+i)²

Al simplificar el valor de 1000 en la igualdad anterior se obtiene:

(1+0.1)⁴ = (1+i)²

Si se despeja i de la anterior ecuación la respuesta que se encuentra es i = 21 % semestral.

La conclusión a la que se llega es que el 10 % trimestral es igual al 21 % semestral.

Sin embargo hay algo más con relación a la equivalencia de tasas y es que producirán el mismo monto sin importar el capital o el tiempo, por ejemplo: el monto de 30000 $ en 3 años al 10 % trimestral será:

S = 30000 (1+0.1)¹² = 94152.85 $

Y el mismo monto calculado al 21 % semestral será:

S = 30000 (1+0.21)⁶ = 94152.85 $

Tomando la ecuación (1+0.1)⁴ = (1+i)² se la puede reescribir como:

(1+i₁)^m1 = (1+i₂)^m2 (*)

Donde:

i₁ = tasa conocida o inicial, en el caso anterior es igual al 10 %

i₂ = nueva tasa o sea la que se va a calcular

m1 = periódos iniciales que hay en un año, en este caso como los períodos son trimestres, entonces m1 = 4.

m2= períodos de la nueva tasa, como la nueva tasa debe tener efectividad semestral entonces m2 =2.

Al reemplaza los datos anteriores en la ecuación rescrita resulta: (1+0.1)⁴ = (1+i)² que es la misma ecuación tomada inicialmente.

La ecuación (*) permite en una forma muy simple cambiar de efectividad, simplemente hay que reemplazar las variables por los datos conocidos y por esta razón se la llamará la ecuación del cambio de efectividad.

Equivalencia de tasas de interés en el interés compuesto – Definición (Primera parte)

Tasas equivalentes son aquellas que teniendo diferente efectividad producen el mismo monto al final de un año.

Con anterioridad se vio que si se invertía un capital de 1000 $ durante un año al 10 % efectivo trimestral al final del año se tendría un resultado de 1464. 1 $ tal como se muestra en la siguiente gráfica:

S = P(1+i)ⁿ

S = 1000 (1+0.1)⁴

Ahora, supóngase que se quiere hacer liquidaciones semestrales pero que el resultado final sea el mismo que el obtenido con liquidaciones trimestrales, entonces con una tasa i % efectivo trimestral. La gráfica del flujo de efectivo quedaría de la siguiente manera:

Relación entre tasa efectiva y tasa nominal –Interés compuesto

De lo visto anteriormente se puede concluir que la tasa nominal es igual a la efectiva multiplicada por el número de períodos que hay en un año, el número de períodos que hay en un año se lo representará por m. Así se llega a las siguientes fórmulas:

j = i × m

i = j/m

La tasa nominal anual se emplea en el interés simple porque esta tasa no tiene en cuenta la capitalización de intereses; la tasa efectiva o periódica es la que se debe usar en las fórmulas del interés compuesto.

Ejemplo:

a. Dado el 3 % efectivo mensual entonces m= 12 y j =3×12 = 36 % CM (convertible mensualmente) = 36 % NMV

b. Dado el 5 % EB (efectivo bimestral) entonces m= 6 y j= 5×6 = 30 % CB = 30 % NBV

c. Dado el 28 % NS entonces m=2 y se puede establecer que i=28/2 = 14 % ES

Interés compuesto – Concepto (Segunda parte)

Caso del interés compuesto:

La representación gráfica del flujo de efectivo será la siguiente:

Al final del primer trimestre se liquidan los primeros intereses 1000*0.10 = 100 $ y se acumulan al capital para obtener el primer monto de 1100 $.

Al final del segundo período se liquidan los segundos intereses, pero esta vez sobre el monto anterior, esto es: 1100*0.10 = 1100 $ y al acumularlo se obtiene un nuevo monto 1100 + 110 = 1210 $ y así sucesivamente hasta llegar a un monto final de 1464.10 $.

Algebraicamente se pude representar el resultado anterior en la siguiente forma:

Con lo que se llega a concluir que la fórmula del interés compuesto es:

S=P(1+i)ⁿ

Donde:

S = Valor final o monto

P = Valor presente o inicial

i = Tasa de interés

n = Número de períodos

Interés compuesto – Concepto (Primera parte)

La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta la reinversión de los intereses, es por esta razón que este tópico es de gran importancia en el desarrollo de casi toda actividad financiera.

Concepto

La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto esta en que en el interés simple los intereses deben ser pagados cada vez que se liquidan mientras que en el interés compuesto cada vez que se liquidan se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a liquidar intereses.

Ejemplo:

Supóngase que se tiene un capital de 1000 $ que será invertido al 10 % trimestralmente durante un año, primero se hace la inversión a interés simple y después se realiza la inversión a interés compuesto. El comportamiento del capital a lo largo del año en cada caso se muestra en las siguientes gráficas.

Caso del interés simple:

Al final del primer trimestre se liquida un interés de 1000*0.10 = 100 $ y se pagan, en consecuencia el capital de 1000 $ no se modifica y así para el siguiente trimestre la liquidación de intereses vuelve a ser 100 $, solamente al final del cuarto trimestre el monto a pagar será de 1100 $ correspondiente a los 1000 $ de la inversión inicial más los 100 $ de los intereses.

Interés simple - Descuentos en cadena (Segunda parte)

4. Descuento por temporada: a fin de incentivar las ventas en épocas de baja demanda las fábricas ofrecen un descuento adicional para los pedidos que sean cancelados dentro de ciertas fechas.

5. Descuento por fidelidad: también se conoce con el nombre de descuento por antigüedad, es un pequeño porcentaje que se otorga a los clientes más leales.

Las anteriores son las principales razones para otorgar descuentos, sin embargo estos nunca se suman unos con otros sino que una vez que se aplicó el primero al saldo de la factura se le aplica el siguiente descuento y así sucesivamente hasta agotarlos todos, la respuesta final no varía si se cambia el orden de aplicar los descuentos según se puede deducir del siguiente análisis:

El descuento total será el valor inicial de la factura menos el valor final de la factura, esto es:

D = A(1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n)

D = A(1-((1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n)))

Al dividir el valor final de la factura entre el valor inicial de la misma factura y luego simplificando A se obtiene la fórmula par calcular la tasa promedio de descuento, que será:

d = 1-((1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n))

Puede observarse que en la serie de paréntesis (1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n) se puede cambiar el orden de los paréntesis y el resultado no se altera, por tal razón el orden de los descuentos no importa.

Ejemplo de cálculo serie de Gradiente aritmético y su relación con el presente y futuro

Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va disminuyendo a una cantidad constante de $ 500 por año. La magnitud del primer depósito que se hace es de $ 10,000 y el último de $ 5,500. Si en la cuenta de ahorros se gana un 15% anual ¿de que magnitud debe ser un deposito anual constante durante el mismo tiempo para que el monto acumulado sea el mismo?

Solución:

La representación de los flujos será la siguiente:

Aplicando la fórmula correspondiente se encuentra lo que pide el ejercicio.

A = - 8,308.40

Por lo tanto para que el monto acumulado sea el mismo, se debería realizar un depósito anual constante de 8308.40.

Como P = F / (1+i)ⁿ :

Al despejar F, pasando (1+i)ⁿ al otro lado de la ecuación, se determina la formula para obtener el valor futuro equivalente de un gradiente aritmético conocido, como:

Tomando en consideración la equivalencia entre valor futuro y una anualidad, y desarrollando en las anteriores fórmulas, se obtendrá:

Por lo que una anualidad A dado un gradiente G, es:

Al momento de determinar el valor presente equivalente o valor anual equivalente de una serie de flujos con gradiente uniforme (aritmético), recordar que el primer flujo de la serie se encuentra al final del período y no involucra un gradiente, sino un pago base; por lo que:

Determinación del presente de la serie gradiente uniforme (aritmético):

Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1+i), resulta:

Restando las ecuaciones obtenidas:

Derivación de Fórmulas del valor del dinero en el tiempo - Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente (Primera parte)

Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una cierta cantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada período. También, es posible que ciertos proyectos generen flujos que se incrementen un cierto porcentaje constante por cada período. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supone que los flujos por el efecto de la inflación crecen un cierto porcentaje constante por período.

A esta razón de crecimiento constante (cantidad o porcentaje) en ingeniería económica se le conoce con el nombre de “Gradiente”.

Gradiente Aritmético:

Un gradiente aritmético (G) o uniforme es una serie de flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir que el flujo de caja, ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente.

Al desarrollar una formula que se pueda utilizar para gradientes aritméticos o uniformes es conveniente suponer que el primer flujo de la serie se encuentra al final del período 1 y no involucra un gradiente, sino un pago base.

G = Cambio uniforme aritmético en la magnitud de las entradas o en los ingresos o desembolsos para un período de tiempo.

El valor de G puede ser positivo o negativo. Si se ignora el pago base, podríamos construir un diagrama generalizado de flujo de caja de gradiente creciente uniforme como se muestra en la siguiente figura.

Para determinar la equivalencia en el presente de una serie uniforme de flujos de efectivo; dado que F = P(1+i)ⁿ ; entonces:

Por lo que el valor presente equivalente (P) de una serie de flujos uniformes, que se da durante n períodos con un factor de cambio de valor del dinero a través del tiempo i, se puede determinar mediante la formula:

Por despeje, se encuentra la formula para obtener una anualidad a partir de un valor presente conocido, como:

Para determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo, es necesario introducir una nueva variable, la cual denota por A.

A = Representa el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante n períodos.
F = A + A(1+i)¹ + A(1+i)² + A(1+i)³ + .... + A(1+i)^n-1 (1)

Multiplicando (1) por (1+i):

F(1+i) = A(1+i)¹ + A(1+i)² + A(1+i)³ + .... + A(1+i)^n-1 + A(1+i)ⁿ (2)

F (1+i) = A[(1+i)¹ + (1+i)² + (1+i)³ + .... + (1+i)^n-1 + (1+i)ⁿ] (3)

Restando (3) – (1):

Desarrollando ambos lados: F(1+i) – F = - A + A(1+i)ⁿ

F + Fi – F = A [-1 +(1+i)ⁿ]

F = A [-1 + (1+i)ⁿ] / i

Por lo que el valor futuro equivalente (F) de una serie de flujos uniformes, que se da durante n períodos con un factor de cambio de valor del dinero a través del tiempo i, se puede determinar mediante la formula:Por despeje, se encuentra la formula para obtener una anualidad a partir de un valor futuro conocido, como:

Si se invierte una cantidad P, ahora con la cantidad producida por una tasa de i por un año ¿cuál será el principal y el interés que se han acumulado después de n años?.

El diagrama de flujo para este acuerdo financiero aparece en la siguiente figura:

Desarrollo de un factor de pago único compuesto

Por lo que el valor futuro y presente equivalente de una cantidad que cambia su valor a una tasa i durante n años es:

F = P (1+i)^n y P = F / (1+i)^n

Respectivamente.