INGENIERIA ECONOMICA (APUNTES)

Algunos conceptos básicos de ingeniería económica – Parte III

2011-09-19T18:59:00.000-07:00

Algunos conceptos básicos de ingeniería económica – Parte III

Que es el Valor Económico Agregado

Solamente, cuando la rentabilidad de la inversión supere el costo de capital promedio ponderado, se puede decir que se generará valor económico para los propietarios de la empresa. Únicamente en este evento los inversionistas están satisfaciendo sus expectativas y alcanzando sus objetivos financieros.

Proyecto de Inversión y Riesgo

Un proyecto de inversión se puede entender como la oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de obtener retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo. Cualquier criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de inversión, siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de efectivo cumplan con las siguientes condiciones:

Recuperación de las inversiones
Recuperar o cubrir los gastos operacionales
Obtener una rentabilidad deseada por los dueños del proyecto, de acuerdo a los niveles del riesgo de este.

El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. Cuanto más alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor será la tasa de rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se desprende la naturaleza subjetiva de este tipo de estimaciones.

Algunos conceptos básicos de ingeniería económica – Parte II

2011-09-18T19:11:00.000-07:00

Algunos conceptos básicos de ingeniería económica – Parte II

Factibilidad Económica versus Factibilidad Financiera

En el ámbito de la evaluación de proyectos y la ingeniería económica, es de vital importancia comprender que a cada decisión de inversión, corresponde una decisión de financiación. La condición fundamental es que la rentabilidad de la inversión, debe satisfacer la estructura financiera de la empresa. La decisión de inversión, tiene que ver con la estructura operativa de la empresa y con una de las funciones de la administración financiera que es definir donde invertir. Para poder tomar la decisión de invertir hay necesidad de definir los indicadores de gestión financiera que permitan establecer si la empresa cumple con su objetivo financiero básico y si los proyectos de inversión que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta.

La decisión de financiación, otra de las decisiones fundamentales de la administración, tiene que ver con la estructura financiera de la empresa o proyecto, esta estructura se refiere a los dueños de los recursos (deuda o recursos propios), la cual tiene un costo que se denomina el costo de capital promedio ponderado. Al evaluar la estructura financiera del proyecto, interesa diseñar indicadores financieros que permitan identificar si los inversionistas o dueños de la empresa están alcanzando la meta financiera planteada.

Algunos conceptos básicos de ingeniería económica – Parte I

2011-08-25T19:54:00.000-07:00

Algunos conceptos básicos de ingeniería económica – Parte I

¿Qué es la ingeniería económica?

La ingeniería económica puede ser vista como un conjunto de herramientas, a través de las cuales se analizan cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión.

¿Qué se entiende por factibilidad económica?

La factibilidad económica de un proyecto de inversión tiene que ver con la bondad de invertir recursos económicos en una alternativa de inversión, sin importar la fuente de estos recursos.

En el análisis de la factibilidad económica se evalúa la decisión de inversión independiente del dueño del proyecto, se enfatiza únicamente en los recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el origen de estos.

¿Qué se entiende por factibilidad financiera?

La factibilidad financiera de un proyecto de inversión tiene por objeto evaluar el retorno para los inversionistas. En esta etapa lo que interesa es determinar si la inversión efectuada exclusivamente por el inversionista, obtiene la rentabilidad esperada por él.

Anualidades anticipadas II

2010-09-12T19:16:00.000-07:00

Anualidades anticipadas II

La diferencia entre las dos anualidades consiste en que la serie de la anualidad ordinaria empieza con 1 y termina con (1+i)^(n-1), en cambio, la serie de anualidad anticipada comienza con (1+i) y termina con (1+i)^n. Si a la serie anticipada se le agrega un 1 y se le resta al final, el resultado no se altera, siendo esta operación como sigue:

Se debe observar que la parte que está dentro del paréntesis es igual a la serie ordinaria, por lo tanto, se puede expresar que:

Si se reemplaza Sn┐i por su equivalente ((1+i)ⁿ-1)/i, se tendrá:

Si se factoriza ((1+i)ⁿ-1), se tendrá:

Que es equivalente a: (F/A,n,i%)(1+i)

Anualidades anticipadas I

2009-10-25T08:00:00.000-07:00

Anualidades anticipadas I

Como ya se dijo, una anualidad anticipada es aquella en que los pagos se hacen al principio del período. El valor presente y el valor final se representarán respectivamente de la siguiente manera:

Los dos puntos o diéresis indican que es anticipado.

Existen relaciones entre las anualidades ordinarias y las anualidades anticipadas, las cuales pueden ser deducidas del análisis de las siguientes gráficas:

Para facilitar el planteamiento de la ecuación de valor se comienza con el pago que está en n, siguiendo con el que está en n-1 y así sucesivamente hasta llegar al pago situado en 1, entonces para el valor final con anualidad ordinaria la ecuación de valor quedará de la siguiente forma:

Sn┐i = 1+ (1+i) + (1+i)² + … + (1+i)ⁿ

Para la anualidad anticipada en valor final, la gráfica del flujo de caja quedará de la siguiente manera:

Obsérvese que en el caso planteado se ha usado una doble numeración la que está por encima de la línea de tiempo indica el número de pago, mientras que la que se encuentra debajo de la línea de tiempo señala los períodos y así en el período 0 que es el comienzo del primer período se está haciendo el pago número 1, en el período 1 que es el final del primer período pero a su vez es el comienzo del segundo período y por eso se realiza el segundo pago y así sucesivamente hasta que se llegue al punto n-1 debajo de la línea de tiempo que representa el final del período n-1 pero también es el comienzo del período n y por tanto ahí debe estar el pago n y su ecuación de valor será:

Ejemplo 3 - Anualidades ordinarias – Valor presente y valor futuro

2009-10-04T06:48:00.000-07:00

Ejemplo 3 - Anualidades ordinarias – Valor presente y valor futuro

Una deuda e 50000 $ se va a cancelar mediante 12 pagos uniformes de R $. Con una tasa de 2 % efectivo para el período, encontrar el valor de la cuota R situando la fecha focal en:

a) El día de hoy

b) En 12 meses

Solución:

a) Si se pone la fecha focal el día de hoy, la gráfica que representa el flujo de fondos será la siguiente:

Para este primer caso se usará la siguiente expresión:

an┐i

Ya que todo el flujo de caja debe ser puesto al principio que es donde está la fecha focal y la ecuación de valor quedará de la siguiente manera:

50000 = Ra12┐2%

De donde:

El valor de la renta será igual a:

R = 4727.98 $

b) Si se pone la fecha focal en 12 meses la gráfica correspondiente al flujo de caja para el ejemplo planteado será:

En este caso se puede emplear la siguiente expresión:

Sn┐i

Ya que todo el flujo de caja debe ser puesto en el punto 12 que es donde está la fecha focal, pero la deuda de los 50000 $ sigue en 0, lo cual implica que deberá ser trasladada a valor final junto con todos los pagos, entonces la ecuación quedará de la siguiente manera:

50000(1.02)¹² = R S12┐2%

Resolviendo la ecuación anterior para R se obtiene:

R = 4727.98 $

Nótese que los valores obtenidos usando las dos fechas focales son iguales.

Ejemplo 2 - Anualidades ordinarias – Valor futuro

2009-09-20T07:42:00.000-07:00

Ejemplo 2 - Anualidades ordinarias – Valor futuro

Una persona empieza el 1 de julio de 2006 a hacer depósitos de 1000 $ de forma mensual (realiza los depósitos el primer día de cada mes). Estos depósitos son efectuados en una entidad financiera que le paga el 24 % CM, pero a partir del 1 de octubre de 2007, decide que de ahí en adelante, sus depósitos serían de 2500 $. El último depósito lo hace el 1 de agosto de 2009. Si el 1 de diciembre de 2009 decide cancelar la cuenta. ¿Cuál sería el monto de sus ahorros?

Solución:

La representación del flujo de caja correspondiente al ejercicio planteado se muestra a continuación:

Obsérvese que hay dos anualidades: la de renta de 1000 $ y la renta de 2500 $. La primera anualidad empieza el 1-6-2006 y termina el 1-9-2007 y la segunda anualidad empieza el 1-9-2007 y termina el 1-8-2009. De esa manera la primera anualidad tendrá una duración de 15 períodos y su valor final deberá ser trasladado por 27 períodos para llevarlo a la fecha focal (desde el 1-9-2007 al 1-12-2009). La segunda anualidad tendrá 23 períodos y su valor final se debe trasladar por 4 períodos y así la ecuación de valor se planteará como.

1000S15┐2%*(1.02)²⁷+2500S23┐2%*(1.02)⁴=X

De donde se obtiene que el monto total en la fecha focal será:

X = 107574.69 $

Ejemplo 1 Anualidades ordinarias – Valor presente

2009-09-07T06:42:00.000-07:00

Ejemplo 1 Anualidades ordinarias – Valor presente

Un documento estipula pagos trimestrales de 80000 $ durante 6 años. Si este documento se cancela con un solo pago de:

a) A $ al principio o,

b) S $ al final, con una tasa del 32 % CT.

Solución:

El número de pagos se puede calcular mediante:

n = 4*6= 24

Y R = 80000 $

La tasa efectiva trimestral será:

i = (32 % / 4) = 8 % efectivo trimestral

La representación del flujo de caja correspondiente será:

Luego el valor del pago representado por A será:

A = 80000*[1-(1+0.08)^-24]/0.08 = 842301 $

El flujo de caja para el caso puede ser representado por:

Luego el valor del pago equivalente a S se determinará de la siguiente manera:

S = 80000[1+0.08)²⁴-1]/0.08 = 5341181 $

Anualidades ordinarias y anticipadas – El valor presente

2009-09-06T07:38:00.000-07:00

Anualidades ordinarias y anticipadas – El valor presente

Valor presente

El caso del valor presente se lo representa por an┐i en la notación actuarial y por (P/A,n,i%) en la notación tradicional y significará el valor presente de una anualidad de n pagos puestos en valor presente a la tasa i %.

La fórmula se obtiene al plantear la ecuación de valor con fecha focal al principio y trasladando todos los pagos a valor presente a la tasa i (de nuevo, no se pierde generalidad si se supone que todos los pagos son de 1$).

(P/A, n, i%) = an┐i = (1+i)^-1+(1+i)^-2+………+(1+i)^-n

Para simplificar la ecuación anterior, se puede seguir un procedimiento similar al realizado para el valor final; sin embargo el camino mas corto consiste en actualizar el valor final.

Luego se tendrá:

an┐i = Sn┐i (1+i)^-n

Si se reemplaza Sn┐i por su equivalente ((1+i)ⁿ-1)/i, se tendrá:

an┐i = [((1+i)ⁿ-1)/i](1+i)^-n = [1-(1+i)^-n)]/i

De donde se puede concluir que:

(P/A,n,i%) = an┐i = [1-(1+i)^-n)]/i

Las anteriores fórmulas fueron deducidas para una renta de 1 $, pero si la renta hubiese sido de R $, el valor final VF o el valor presente VP hubiese sido R veces mayor. Por la tanto se puede escribir lo siguiente:

VF = R Sn┐i

Y también

VP = R an┐i

Plazo de una anualidad y Valor final II

2009-08-24T14:51:00.000-07:00

Plazo de una anualidad y Valor final II

Plazo de una anualidad (continuación)

Ahora se procederá a calcular el valor final de una anualidad. No se pierde generalidad si se supone que la renta es de 1 $, pues este valor puede ser factorizado en la ecuación para calcular el valor final, como se muestra a continuación en referencia a un ejemplo mostrado anteriormente:

2000000 = R[((1.1)^-1+(1.1)^-2+(1.1)^-3+(1.1)^-4]

Lo que está dentro de los corchetes es el valor presente de 1 $ en un período, seguido del valor presente de 1 $ en dos períodos y así sucesivamente hasta llegar al valor presente de 1 $ en 4 períodos.

En forma general se tendrá:

Para plantear la ecuación de valor con fecha focal en n se traslada cada uno de los pagos de 1 $ a valor final usando la fórmula del interés compuesto S= P(1+i)ⁿ a cada pago, pero en cada caso, P=1. El pago que está en 1 se traslada por n-1 períodos, el que está en 2 se traslada por n-2 períodos y así sucesivamente hasta llegar al pago que está en n, el cuál no se traslada por estar en la fecha focal, entonces se tendrá:

(F/A, n, i%) = 1+ (1+i) + (1+i)²+ ……… + (1+i)^n-1

Si se multiplica la ecuación anterior por (1+i) se obtendrá lo siguiente:

(F/A, n, i%) (1+i) = (1+i) + (1+i)² + ……… + (1+i)ⁿ

Si se realiza la resta de las dos ecuaciones anteriores, se obtendrá:

(F/A, n, i%) (1+i) - (F/A, n, i%) = (1+i)ⁿ -1

Factorizando (F/A, n, i%) o Sn┐i en la notación actuarial, se obtiene:

(F/A, n, i%) (i) =(1+i)ⁿ -1

Por último despejando (F/A, n, i%), se tendrá:

(F/A, n, i%) = Sn┐i=((1+i)ⁿ-1)/i)

Plazo de una anualidad y Valor final

2009-08-17T15:40:00.001-07:00

Plazo de una anualidad y Valor final

Plazo de una anualidad

El tiempo que transcurre entre el inicio del primer período y el final del último período se denomina el plazo de una anualidad y se representa por n.

Una anualidad tiene dos valores el valor final y el valor presente en el primer caso, todos los pagos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos son trasladados al principio de la anualidad.

Valor final

Si se hace los cálculos para hallar el valor final de una anualidad ordinaria. El valor final puede ser representado de dos maneras:

La primera usando la notación tradicional:

(F/A,n,i%)

Donde F significa valor final, A significa que se trata de una anualidad, n indica el número de pagos de la anualidad y la i % significa la tasa de interés a la cual todos los pagos son trasladados a valor final.

La segunda forma de representación es con la notación actuarial:

Donde la S significa valor final, la n (cantidad que se escribe dentro del ángulo) indica el número de pagos y la i indica la tasa de interés a la cual serán llevados todos los pagos a valor final.

Debido a que la notación actuarial es más condensada en muchos casos es recomendable su utilización.

Anualidades ordinarias y anticipadas VI

2009-08-08T08:03:00.000-07:00

Anualidades ordinarias y anticipadas VI

El siguiente gráfico no representa una anualidad porque hay 4 pagos y hay 5 períodos.

Claramente puede observarse que cuando se inicia el gráfico con pago y se termina con pago, no hay una anualidad bien conformada y cuando el gráfico inicia con período y termina con período, tampoco hay una anualidad bien conformada. Las gráficas que representan anualidades bien conformadas tienen una característica en común, que su inicio y fin son diferentes, en un caso se inicia con período y se termina con pago y en el otro se inicia con pago y se termina con período.

En conclusión se puede decir que para una anualidad este bien conformada, en la grafica de representación el inicio y el fin deben ser diferentes.

Anualidades ordinarias y anticipadas V

2009-08-07T11:00:00.000-07:00

Anualidades ordinarias y anticipadas V

Anualidad ordinaria o anualidad vencida

Para que la gráfica anterior represente una anualidad bien conformada es necesario agregarle un período que bien puede quedar al principio o al final. En el primer caso se tendría:

La anualidad así conformada recibe el nombre de anualidad ordinaria o anualidad vencida que viene a ser aquella en que los pagos se efectúan al final del período por ejemplo el pago de los sueldos de un empleado (primero viene el período de trabajo y después viene el pago).

Anualidad anticipada

En el segundo caso se tendría:

Las anualidades así conformadas reciben el nombre de anualidades anticipadas porque los pagos se efectúan al principio del período por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa (primero paga y después tiene derecho a ocupar la casa durante el mes que se pagó).

Anualidades ordinarias y anticipadas IV

2009-08-06T15:58:00.000-07:00

Anualidades ordinarias y anticipadas IV

La segunda condición establece que los pagos deben hacerse a iguales intervalos de tiempo, esto es necesario para que los exponentes sean ascendentes o descendentes tal como se vio en las ecuaciones del ejemplo señalado. Esta condición se cumple aún si los pagos son trimestralmente, semestralmente o anualmente y sin embargo a la serie se le sigue llamando anualidad.

La tercera condición establece que todos los pagos deben ser llevados a valor presente o a valor final, según sea el caso, a la misma tasa de interés. Esto garantiza que todos los términos dentro del paréntesis tienen la misma base, por lo tanto, la serie que está adentro del paréntesis forma una progresión geométrica.

La cuarta condición establece que el número de pagos debe ser igual al número de períodos.

Por lo tanto la serie que se muestra en la siguiente gráfica no representa una anualidad porque tiene 4 pagos y solo hay 3 periodos.

Anualidades ordinarias y anticipadas III – Renta, período de renta, anualidad

2009-08-04T06:35:00.000-07:00

Anualidades ordinarias y anticipadas III – Renta, período de renta, anualidad

Renta

Es el pago periódico de igual valor que corresponde a los R $ del ejemplo anterior. A la renta también se le conoce con el nombre de: cuota, depósito, retiro o pago, según sea el caso.

Período de renta

Es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos consecutivos.

Anualidad

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:

Todos los pagos son de igual valor.
Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.
El número de pagos es igual al número de períodos.

Las condiciones anteriores obedecen a ciertas normas y tienen algunas implicaciones, por ejemplo, la primera condiciones es indispensable para poder factorizar tal como se hizo cuando se plantearon las ecuaciones de valor del ejemplo inicial mostrado en la introducción del tema de anualidades.

Anualidades ordinarias y anticipadas II

2009-08-03T05:33:00.000-07:00

Anualidades ordinarias y anticipadas II

Si se hubiese planteado la ecuación de valor con fecha focal al final la ecuación de valor habría quedado de la siguiente manera:

2000000(1.1⁴) = R(1+0.1)⁰+R(1+0.1)¹+R(1+0.1)²+R(1+0.1)³

Factorizando se tendría:

2000000(1.1⁴) = R((1+0.1)⁰+(1+0.1)¹+(1+0.1)²+(1+0.1)³)

Luego: 2898200 = R(4.641)

R = 630941.61 $

Se observa a primera vista que la ecuación tiene una presentación muy distinta pero el resultado final es el mismo.

El problema anterior no presentó dificultad en su resolución, pero, si el número de pagos hubiese aumentado considerablemente, la solución no hubiese sido tan sencilla, como en el caso de pagar una deuda mediante pagos mensuales, durante 20 años. La solución de este problema dio origen a un modelo matemático llamado anualidad. A continuación se darán algunas definiciones básicas para el tema de anualidades.

Anualidades ordinarias y anticipadas I

2009-08-02T08:30:00.000-07:00

Anualidades ordinarias y anticipadas I

Considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Una persona compra un terreno cuyo valor, al contado, es de 2 millones de $. Si le dan la facilidad para pagarlo en cuatro cuotas trimestrales de R $ cada una, que se efectuarán al final de cada trimestre y además se le cargaría un interés del 40 % CT, hallar el valor de la cuota trimestral de amortización.

Solución:

En primera instancia se puede construir un grafico en el que se represente los flujos de dinero establecidos en el ejemplo. Este gráfico se conoce también con el nombre de flujo de caja. Puesto que la tasa tiene efectividad trimestral y los pagos son trimestrales se puede usar el trimestre como período.

Si se plantea la ecuación del valor poniendo la fecha focal en el año cero, la ecuación quedaría de la siguiente forma:

2000000 = R(1+0.1)^-1+R(1+0.1)^-2+R(1+0.1)^-3+R(1+0.1)^-4

Factorizando R se tendría:

2000000 = R((1+0.1)^-1+(1+0.1)^-2+(1+0.1)^-3+(1+0.1)^-4)

Haciendo cálculos:

2000000 = R(3.169865)

Despejando el valor de la cuota se tendría:

R = 630941.61 $

Definicion de tasa de interes

2009-08-01T13:44:00.000-07:00

Definición de tasa de interés

El origen del fenómeno de la tasa de interés se encuentra en la disyuntiva existente entre el poder adquisitivo presente y futuro. La tasa de interés es el precio que se debe pagar por el crédito y, al igual que otros precios, cumple una función asignadota (o de racionamiento). La tasa de interés le ayuda a la sociedad a decidir cómo asignar la producción de bienes y servicios a través del tiempo.

Al igual que otros precios, la tasa de interés también proporciona información. A escala nacional, la tasa de interés refleja la tasa de preferencia en el tiempo de la comunidad en cuanto al consumo de bienes y servicios. Manteniendo constantes otros factores, una tasa de interés relativamente alta indica que la comunidad está impaciente y desea consumir más en el presente. Dado que los restantes factores se mantienen constantes, una tasa de interés relativamente baja refleja una sociedad paciente, orientada hacia el futuro, que se muestra dispuesta a renunciar al consumo presente para tener un mayor consumo futuro.

La tasa de interés les permite a las personas comparar valores presentes con valores futuros porque, por su misma naturaleza ella refleja la disyuntiva existente entre poder adquisitivo presente y futuro. Las distintas familias tienen diferentes preferencias en el tiempo en cuanto a sus niveles de consumo y, dados sus gustos en cuanto a intercambiar consumo presente por consumo futuro, preferirán ahorrar y prestar un porcentaje de sus ingresos. A esa misma tasa de interés, algunas familias preferirán convertirse en prestatarias netas. Esas familias preferirán un consumo superior a su ingreso en el presente, sabiendo que deberán sacrificar consumo futuro, porque tendrán que devolver el interés y el capital (cantidad que se toma en préstamo).

En igual forma, las distintas empresas tienen expectativas diferentes en cuanto a ganancias; a una determinada tasa de interés, una empresa A tomará dinero en préstamo si espera obtener una tasa de ganancias superior a la tasa de interés; ésta otorgará préstamos si espera obtener una tasa de ganancia inferior a la tasa de interés.

Teniendo en cuenta que las familias tienen distintas tasas de preferencias en el tiempo en cuanto a consumo y, que las empresas tienen diferentes expectativas de ganancias, dada una determinada tasa de interés, ciertas unidades económicas se convertirán en prestamistas netos y otras, en prestatarios netos. Esto significa que unas familias serán prestamistas netas y otras prestatarias netas y que algunas empresas serán prestamistas netas y otras prestatarias netas.

Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank V

2009-07-23T05:04:00.000-07:00

Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank V

Ejercicio

¿Cuál de las siguientes alternativas tiene una mejor tasa de retorno: $200 invertidos durante 1 año con $6.25 pagados en interés o $500 invertidos durante un año con $18 pagados en interés?

Solución:

El monto del interés se puede calcular mediante la siguiente ecuación:

Interés = tasa de interés * monto de la inversión

Despejando la tasa de interés se tiene:

Tasa de interés (%) = (Interés / monto de la inversión) *100

Reemplazando los valores para las dos opciones planteadas en el ejemplo, se tendrá:

Opción 1: $200 con un interés de $6.25

Tasa de interés = ($6.25/$200)*100 = 3.125 % anual

Opción 2: $500 con un interés de $18

Tasa de interés = ($18/$500)*100 = 3.6 % anual

Por lo tanto la opción que mejor tasa de retorno presenta es la segunda, es decir la de $500 con un interés de $18.

Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank IV

2009-07-22T08:02:00.000-07:00

Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank IV

Ejercicio

¿Cuál fue la cantidad del préstamo si la tasa de interés es 1.5 % mensual pagadero mensualmente y el prestatario acaba de hacer el primer pago mensual de $25 en intereses?

Solución:

El interés se puede calcular mediante:

Interés = tasa de interés * monto del préstamo

Si el primer pago efectuado fue de $25 en intereses y la tasa de interés es de 1.5 %, entonces se puede despejar de la ecuación planteada el monto del préstamo.

Luego se tendrá:

Monto del préstamo = Intereses/tasa de interés

Reemplazando valores se tendrá:

Monto del préstamo = $25/0.015 = $1666.67

Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank III

2009-07-17T04:01:00.000-07:00

Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank III

Ejercicio

Calcule la cantidad de interés por pagar después de 1 año sobre un préstamo de $5000 si el interés es 8 % anual. ¿Cuál es el periodo de interés?

Solución:

El interés se puede calcular mediante:

Interés = Monto adeudado al final – Monto original del préstamo

El monto adeudado al final será igual a:

Monto adeudado al final = Monto original del préstamo * (1+tasa de interés)

Reemplazando valores:

Monto adeudado al final = $5000 * (1.08) = $5400

Luego el interés será:

Interés = $5400 - $5000 = $400

Alternativamente se puede hacer el siguiente procedimiento.

La cantidad de interés a pagar por el préstamo de $5000 al 8 5 anual será igual a:

Interés = tasa de interés * monto del préstamo

Reemplazando valores se tendrá:

Interés = 0.08 * $5000 = $400

El período de interés será igual a 12 meses.

Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank II

2009-07-16T06:00:00.000-07:00

Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank II

Ejercicio

Cheryl reunió tasas de préstamo promocionadas de tres lugares. Estas son: 10 % anual compuesto semestralmente, 11 % anual compuesto trimestralmente y 11.5 % anual. Establezca el periodo de interés en meses para cada tasa.

Solución:

De acuerdo al enunciado del ejercicio, los períodos de interés en meses para cada tasa serán.

10 % anual compuesto semestralmente corresponderá a períodos de 6 meses.

11 % anual compuesto trimestralmente corresponderá a períodos de 3 meses

11.5 % anual, corresponderá a períodos de 12 meses.

Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank I

2009-07-15T20:58:00.000-07:00

Solución ejercicios propuestos tasas de interes libro Tarkin y Blank I

Ejercicio

Julio obtuvo un préstamo de $1000 de un banco y pagó 12 % anual compuesto semestralmente. El rembolsó el préstamo en seis pagos iguales de $ 203.36 cada uno. Determine la suma total en dólares pagada por Julio y establezca que porcentaje del préstamo original representa este interés:

Solución:

Si se reembolsó el préstamo es seis pagos iguales de $203.36, la suma total desembolsada por Julio será:

Monto total desembolsado = $203.36 * 6 = $1220.16

El interés pagado en términos monetarios, respecto al monto del préstamo obtenido será igual a:

Interés = Monto pagado – Monto préstamo original

Reemplazando valores se tiene:

Interés = $1220.16 - $1000 = $220.16

El porcentaje del interés pagado respecto al monto del préstamo original será entonces:

% préstamo original que representa el interés pagado = ($220.16/$1000)*100% =22.016 %

Ejemplo calculo de tasas de interes:

2009-07-15T13:57:00.000-07:00

Ejemplo calculo de tasas de interes:

a) Calcular la suma de dinero que debe haber sido depositada hace 1 año para tener ahora $100 a una tasa de interés del 5% anual.

b) Calcular los intereses ganados durante el periodo de tiempo señalado

Solución:

a) La cantidad total acumulada es la suma del depósito original y el interés ganado. Si X es el depósito original,

Total acumulado = original + original (tasa de interés)

$100=X+ X(0.05)=X(1+0.05)= 1.05X

El depósito original es X, luego despejando su valor de la igualdad planteada con anteriodad, se obtiene:

X = (100/1.05) $

X = 95.238 $

b) Los intereses ganados estarán determinados por la cantidad final que se tiene (100 $) menos la cantidad inicial depositada.

Por lo que el interés ganado será igual a:

Interés ganado = 100 $ - 95.238 $ = 4.762 $

Ejemplo de calculo aceptaciones bancarias y financieras

2009-07-13T06:36:00.000-07:00

Ejemplo de calculo aceptaciones bancarias y financieras

Una aceptación bancaria por 80 $ millones con ficha de vencimiento del 17 de diciembre de 2009 es adquirida el 22 de julio de 2009 por un inversionista con un descuento del 28 % y es cedida a un segundo inversionista el 14 de octubre de 2009. Si el segundo inversionista desea ganar el 32 %.

a) ¿Cuál es la ganancia en $ del primer inversionista?

b) ¿Cuál es la rentabilidad efectiva del primer inversionista?

Considera un tipo de interés comercial para el ejercicio (año comercial = 360 días)

Solución:

Si se representa por P_c1 y por P_c2 el precio de compra del primer inversionista y del segundo inversionista respectivamente, se tendría el siguiente gráfico del flujo de caja:

Tomando en cuenta que se debe emplear en el ejemplo un año comercial (igual a 360 días), entonces los días que hay entre el 22 de julio y el 17 de diciembre son 145.

Y la cantidad de días que hay entre el 14 de octubre y el 17 de diciembre es igual a 63.

Con lo determinado anteriormente y tomando en cuenta la tasa de descuento dada, el precio de compra del primer inversionista será igual a:

P_c1 = 80 millones de $ * (1+0.28)^-(145/360) = 72.42828364 millones de $ o aproximadamente 72428284 $

Dado que no se está tomando en cuenta comisiones, el precio de compra del segundo inversionista es el mismo precio de venta del primer inversionista y se calcula de la siguiente manera:

P_c2 = 80 millones de $ * (1+0.32)^-(63/360) = 76.20606713 millones de $ o aproximadamente 76206067 $.

De donde la ganancia del primer inversionista será:

76206067 $ - 72428284 $ = 3777783 $

La rentabilidad del primer inversionista se obtiene aplicando la fórmula del interés compuesto y tomando el tiempo que tuvo en su poder la aceptación.

En el caso del ejemplo el tiempo se puede hallar calculando los días que hay entre el 22 de julio y el 14 de octubre usando el procedimiento anterior, o, también por diferencia de días entre el total que es 145 y los que hay entre la fecha de compra del segundo inversionista y la fecha de vencimiento que llega a ser 63, entonces la diferencia será igual a 82.

Dado que la fórmula del interés compuesto es:

S = P_c (1+i)ⁿ

Reemplazando los datos dados y obtenidos, se tendrá:

76206067 = 72428284 (1+i)^82/360

Y despejando la tasa de interés correspondiente se obtendrá:

i = 25.01 %

La rentabilidad del segundo inversionista es de 32 %.

Aceptaciones bancarias y financieras IV

2009-07-09T05:22:00.000-07:00

Aceptaciones bancarias y financieras IV

Segunda opción:

El proveedor decide descontar la aceptación en el mercado bursátil y en tal caso debe recurrir a un corredor de bolsa (quienes son los únicos autorizados para negociar en la bolsa) y si se supone que el corredor le dice que en la bolsa este tipo de operaciones se está registrando al 30 % efectivo anual, esta tasa se denomina tasa de registro porque es la tasa que queda registrada en la computadoras de la bolsa y se la puede representar por i_R.

Con base en la tasa de registro se puede calcular el precio de registro de la siguiente manera:

P_R= 100(1+0.3)^-40/365= 97.1657 equivalente a 97.1657 %

El precio de registro en $ será: 0.971657*5000000 =4858285 $

De esa forma en las computadoras de la bolsa aparecerá en venta esta aceptación por valor del 97.1657 % de su valor de redención y que a ese precio produce una rentabilidad del 30 %.

Pero además el corredor le dice que para que la aceptación sea inscrita en bolsa tendrá que pagar una comisión que se la representará por COM_V (comisión de venta).

Suponiendo que la comisión de venta sea del 0.5 % en rentabilidad entonces la tasa total de descuento será:

I_R+COM_v = 30% + 0.5% =30.5 %

Esta nueva tasa se denomina tasa de cesión o tasa del vendedor.

Con base en la tasa de cesión se puede calcular el valor de cesión, es decir el valor que recibe el vendedor por la aceptación. El valor de cesión se lo representará por P_V (precio de venta).

P_V = 100(1+0.305)^-40/365 = 97.1248 $ que es equivalente al 97.1248 %

Entonces el precio de venta en $ o precio de cesión en $ será:

P_V= 5000000*.971248 = 4856240 $

El valor de la comisión de venta se puede hallar por la diferencia entre los precios de venta y el precio de registro:

Comisión = 4858285 – 4856240 = 2045 $

Aceptaciones bancarias y financieras III

2009-07-08T10:20:00.000-07:00

Aceptaciones bancarias y financieras III

Primera opción:

Supóngase que faltando 40 días para el vencimiento, el proveedor debido a un estado de iliquidez, decide vender la aceptación en el mercado OTC (el inversionista que adquiere esta aceptación puede ser un particular, una compañía de financiamiento comercial, una compañía de leasing, etc.). Si se supone que la tasa de descuento convenida es del 30 %, el valor que recibe el vendedor se denomina precio del vendedor que en este caso será igual al precio del comprador (P_c) puesto que no hay que pagar ninguna comisión.

Es costumbre calcular el P_c como un porcentaje del valor que tendrá la aceptación al vencimiento. (El valor al vencimiento se denomina valor de maduración o valor de redención y se lo representará por VF).

Haciendo el cálculo por cada 100 $ de valor de maduración se tendrá:

Teniendo en cuenta que la fórmula del monto compuesto es S = P_c(1+i)ⁿ entonces la fórmula para calcular el valor presente será: P_c = S(1+i)^-n de manera que el valor presente P_c de la aceptación por cada 100 $ de valor de maduración será:

P_c = VF(1+i)^-n = 100(1+0.3)^-40/365 = 97.1657 $

Lo que significa que el precio de compra es de 97.1657 $ por cada 100 $ de maduración y si el valor de maduración es de 5000000 $ entonces el precio de compra será:

5000000*.971657 = 4858285 $

Que importancia tiene la ingenieria economica

2009-07-08T05:26:00.000-07:00

Que importancia tiene la ingenieria economica

¿Por que es tan importante la ingeniería económica?

Prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones que se tomen cambian la vida de las personas poco y algunas veces considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva camisa aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en el momento. Por otra parte, el comprar un nuevo automóvil y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo disponible a medida que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el automóvil.

Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son decisiones de cómo invertir en la mejor forma los fondos, o el capital, de la compañía y sus propietarios. El monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo disponible de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser, una vez más, económicos y no económicos, lo mismo que tangibles e intangibles. Sin embargo, cuando las corporaciones y agencias públicas seleccionan una alternativa sobre otra, los aspectos financieros, el retorno del capital invertido, las consideraciones sociales y los marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor importancia que los aspectos correspondientes a una selección individual.

Aceptaciones bancarias y financieras II

2009-07-04T10:43:00.000-07:00

Aceptaciones bancarias y financieras II

Puede ocurrir que el fabricante se encuentre en un país distinto al del almacén y su el banco no tiene sucursal en ese otro país deberá tener corresponsales (es decir bancos que lo representen en ese otro país).

Si el proveedor necesita el dinero antes del vencimiento, puede ofrecer en venta la aceptación y para ello tiene dos opciones: Venderla en el mercado extrabursátil conocido como mercado OTC (over de counter) que tiene la ventaja de no pagar comisiones a intermediarios porque se negocia en forma directa o venderla en el mercado bursátil, es decir en un bolsa de valores, a través de un intermediario de bolsa conocido como corredor de bolsa que cobra una comisión por sus servicios de intermediación.

Es obvio que al vencimiento de la aceptación, el dueño del almacén deberá cancelar al banco el valor de ésta, e independientemente de si el almacén le paga o no al banco la aceptación, el banco si tendrá que pagar en la fecha de vencimiento el valor nominal de la aceptación al tenedor de ésta.

A continuación se presenta una gráfica más completa donde se muestra la trayectoria de la aceptación bancaria.

Aceptaciones bancarias y financieras I

2009-07-03T17:39:00.000-07:00

Aceptaciones bancarias y financieras I

Las aceptaciones bancarias y financieras son letras de cambio con cargo a un comprador de bienes manufacturados que una entidad financiera avala o garantiza su pago al poseedor de la aceptación al vencimiento. El plazo máximo es de un año. Cuando la entidad financiera que da el aval es un banco se denomina aceptación bancaria, si es otro tipo de entidad financiera se denomina aceptación financiera.

Las aceptaciones en general son títulos que se expiden a la orden del proveedor, no son divisibles, no son gravables en el mercado primario.

Ejemplo:

Supóngase que un proveedor de bicicletas (puede se una fábrica) recibe un pedido de compra de 50 unidades para un almacén por valor de 5 millones de $, pero el almacén pide un plazo de 90 días para pagar. El proveedor acepta el pedido pero solicita que una entidad financiera garantice el pago futuro, por tal motivo el dueño del almacén se dirige a su banco y le solicita que expida una aceptación bancaria por 5 millones de $ con vencimiento en 90 días, el banco le entrega al almacén la aceptación y éste se la entrega al proveedor, este último puede guardar la aceptación y cobrarla al banco a su vencimiento o puede negociarla en el mercado secundario.

Gráficamente se puede representar la operación de la siguiente manera:

Ejemplo 2 equivalencias tasas de interés referenciales

2009-07-01T16:48:00.000-07:00

Ejemplo 2 equivalencias tasas de interés referenciales

Ejemplo

Un industrial tiene actualmente contratado un préstamo con una corporación financiera a la tasa referencial T + 3 puntos. ¿Cuál debe ser el spread en puntos básicos de forma tal que financieramente sea indiferente el préstamo en la corporación financiera o en el mercado de Londres?

Suponga los siguientes datos:

Tasa referencial T = 15.3 % TA

i_devaluación= 22 % EA

Tasa libor =5.2 % EA

Solución:

El préstamo que se realice en Londres se efectuará en Libras Esterlinas y obviamente una devaluación del peso frente a la libra esterlina afectará al costo del crédito, por tal razón, la siguiente ecuación incluye la tasa de devaluación.

i_devaluación + (tasa libor + X) = Tasa referencial + 3

Si se trabaja el miembro de la derecha de la anterior igualdad se tendrá:

Tasa refencial + 3 = 15.3 % TA + 3 % TA = 18.3 % TA (puesto que son tasas nominales, se pueden sumar directamente).

Por equivalencia de tasas se puede convertir la tasa nominal trimestre anticipado en una tasa efectiva anual, obteniéndose el siguiente resultado:

18.3 % NTA = 20.601 % EA

Si se trabaja el miembro izquierdo de la igualdad inicial planteada se tendrá:

i_devaluación + (tasa libor + X) = 22 % + (5.2+X) %

(5.2+X) % puede ser escrita como (5.2+X)/100 = 0.052 + 0.0X

La suma del 22 % y del (5.2+X) % debe realizarse usando la combinación de tasas de la siguiente manera:

22 % + (5.2+X) % + 22 % (5.2+X) % = 0.22 + 0.052 + 0.0 X + (0.22)(0.052) + 0.0022 X

Reduciendo términos semejantes resulta:

0.28344 + 0.0122X

Igualando el miembro de la izquierda y la derecha de la igualdad inicial planteada, se tendrá:

0.28344+0.0122X = 0.20601

Despejando X, se tendrá:

X=-6.35 %

Lo que significa que cobrar una tasa referencial + 3 puntos es lo mismo que cobrar devaluación más libor menos 6.35 puntos.

Ejemplo equivalencias tasas de interés referenciales

2009-06-29T08:22:00.000-07:00

Ejemplo equivalencias tasas de interés referenciales

Supóngase que una persona tiene un préstamo hipotecario al IPC + 4 puntos. ¿Cuál debe ser el spread si se cambia a otro plan cuya tasa es una tasa referencial + X? Suponga que el IPC es igual a 8 % y que la tasa referencial igual a 18.67 % TA (Trimestre anticipado).

Solución:

Se plantea la siguiente ecuación:

IPC + 4 = Tasa referencial + X

Pero se debe tener en cuenta que el IPC tiene efectividad anual, mientras que la Tasa referencial está dada como nominal trimestre anticipada.

La igualdad debe realizarse en las mismas unidades y el spread en cada caso viene a quedar en las mismas unidades de la tasa principal, en este caso 4 viene a ser efectivo anual y X viene a ser nominal trimestral anticipada.

Se debe recordar que para sumar dos tasas efectivas se aplica la fórmula de tasa combinadas, por tanto el primer miembro de la igualdad dada con anterioridad será:

IPC + 4 = 0.08 + 0.04 + 0.08*0.04 = 0.1232 =12.32 % efectivo anual

Como la incógnita que está en el otro miembro de la ecuación está dada en nominal trimestre anticipado entonces esta tasa debe ser convertida en nominal trimestre anticipado:

(1+0.1232) = (1+i)⁴ de donde:

i = 2.9471 % período trimestre vencido

Luego:

i_a = i/(1+i) = 0.029741/(1+0.029741) = 2.86275 % TA

Y entonces:

j_a= 2.68275*4 =11.451 % TA

Y el anterior valor corresponde al primer miembro de la igualdad IPC + 4 = Tasa referencial + X.

La suma de dos tasas nominales se obtiene efectuando una suma simple de manera que el segundo miembro de la ecuación anterior será:

Tasa referencial + X = 0.187 + X nominal trimestre anticipado

Finalmente la ecuación quedará de la siguiente manera:

0.11451 = 0.1867 + X

De donde:

X = -0.07219 = -7.219 % TA

De donde se puede concluir que si se cambia de plan tendrá que ser a la Tasa referencial menos 7.219 %.

Equivalencia de tasas de interés referenciales

2009-06-28T08:21:00.000-07:00

Equivalencia de tasas de interés referenciales

Hay muchos créditos atados a una tasa principal por ejemplo a la inflación más unos puntos adicionales, estos puntos adicionales se denominan el Spread, suponiendo que la inflación fuera del 10 % efectivo anual y el que spread sea de 5 puntos, entonces la tasa a la cual se cancelaría el crédito se puede calcular aplicando la fórmula de la tasa combinadas:

i = 0.1+0.05+0.1*0.05 = 0.155 = 15.5 % efectivo anual

Cuando la tasa principal viene dada en forma efectiva anual para agregarle el spread se usa la fórmula de combinación de tasas pero si el spread se le adiciona a una tasa de interés nominal entonces el spread simplemente se suma a la tasa principal por ejemplo:

Si un préstamo para vivienda se otorga a la tasa principal X más 8 puntos y suponiendo que la tasa de interés X = 17 % TA (significa 17 % nominal trimestre anticipado), entonces la tasa del crédito será:

0.17 + 0.08 = 0.25 = 25 % TA

Por equivalencia de tasas se concluye que es equivalente al 29.5 % efectivo anual.

La importancia de la ingenieria economica

2009-06-24T14:48:00.000-07:00

La importancia de la ingenieria economica

¿Por qué es importante la ingeniería económica?

En la vida cotidiana se toman decisiones de toda índole prácticamente a diario. Sin duda alguna, las decisiones que el individuo toma en un determinado momento y lugar, generan repercusiones que pueden afectar en gran o pequeña medida su futuro.

Al momento de tomar una decisión, el individuo toma en cuenta factores económicos y no económicos, o factores tangibles e intangibles, lo que sustenta en gran medida la decisión que vaya a seleccionar.

Dejando a un lado los factores subjetivos, el individuo toma decisiones basándose principalmente en los factores económicos que implican estas. Es ahí donde radica la importancia de la ingeniería económica.

La ingeniería económica hace referencia a la determinación de los factores y criterios económicos utilizados cuando se considera una selección entre un o más opciones. Dicho de otro modo, la ingeniería económica aplica un enfoque racional para evaluar los aspectos económicos implicados en la toma de decisiones.

De lo mencionado anteriormente, se puede inferir que la importancia de la ingeniería económica, radica en el instrumental que le proporciona al agente económico para tomar o seleccionar las decisiones más racionales.

Ejemplo de cálculo de la tasa de interés real resultante de incluir la inflación

2009-06-16T05:56:00.000-07:00

Ejemplo de cálculo de la tasa de interés real resultante de incluir la inflación

Ejemplo:

Un inversionista residente en el “país de las maravillas” (donde la moneda local es el peso $), adquiere un documento que vale 300 $us, gana un interés de 6 % en $us y tiene un plazo de un año, el tipo de cambio actual es 1$us = 1500 $ y se estima una devaluación durante ese año del 20 %. Calcular la rentabilidad que se podía obtener, teniendo en cuenta que la inflación para el año en que se hizo la inversión fue del 18 %.

Solución:

La inflación siempre se da como una tasa efectiva anual, por lo que no hay necesidad de agregar las letras EA.

El cálculo de la rentabilidad total (en términos nominales), es posible a través de la siguiente expresión:

i = i₁+i₂+i₁i₂

i = 0.06+0.2 + (0.06)(0.2) = 27.2 %

Y si la tasa de inflación f=18%, entonces la rentabilidad real o tasa deflactada se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

i_r =(i-f)/(1+f)

Reemplazando valores en la expresión anterior se tendrá:

i_r =(0.272-0.18)/(1+0.18) = 0.0779 = 7.8 %

Lo anterior indica que el inversionista se quedará con una tasa de rendimiento real igual al 7.8 % EA.

Tasa de interés real resultante de incluir la inflación en el interés compuesto

2009-06-15T05:55:00.000-07:00

Tasa de interés real resultante de incluir la inflación en el interés compuesto

Tasa deflactada o tasa real

Al hacer análisis sobre proyectos de inversión es necesario tener en cuenta que la inflación afecta la rentabilidad real de un proyecto y que siempre se desea obtener una rentabilidad superior a la inflación. Para calcular la rentabilidad real se puede hacer uso de la fórmula de tasa combinada, derivada anteriormente:

i = i₁+i₂+i₁i₂

Asumiendo que la inflación f=i₁, que la rentabilidad real i_r=i₂ y que la rentabilidad que en total paga es i, por tanto se tiene:

i=f+i_r+fi_r

Despejando i_r se tiene:

i_r =(i-f)/(1+f)

Ejemplo de cálculo tasa de interés combinada resultante de la devaluación en el interés compuesto

2009-06-14T05:55:00.000-07:00

Ejemplo de cálculo tasa de interés combinada resultante de la devaluación en el interés compuesto

Ejemplo:

Como se puede observar, es el mismo ejemplo resuelto anteriormente, pero ahora se resolverá empleando la tasa combinada derivada.

Solución:

Para el caso:

i₁= 6 %, que corresponde a la tasa de interés en dólares estadounidenses

i₂ = 20 %, que corresponde a la devaluación esperada.

Entonces para encontrar la tasa combinada se empleará la siguiente expresión:

i = i₁+i₂+i₁i₂

Reemplazando los valores correspondientes en la anterior ecuación se tendrá:

i = 0.06+0.2 + (0.06)(0.2) = 27.2 %

El anterior resultado es equivalente a la tasa de interés encontrada sin emplear la fórmula directamente.

Tasas de interés combinadas resultantes de la devaluación en el interés compuesto

2009-06-13T05:53:00.000-07:00

Tasas de interés combinadas resultantes de la devaluación en el interés compuesto

Tasas combinadas

En el ejemplo anterior el inversionista ganaría dos tasas, una la tasa de interés en dólares estadounidenses 6 % y otra tasa de devaluación 20 % (porque al finalizar el año va a recibir más pesos por el mismo dólar).

Cuando se combina una tasa i₁ con una tasa i₂ cono el objeto de facilitar los cálculos se puede utilizar la tasa combinada i. El siguiente análisis permitirá deducir una fórmula para hallar esa tasa.

El monto final de un período a la tasa i₁ será: (1+i₁)

El monto de $(1+i₁) a la tasa i₂ será: (1+i₁)(1+i₂)

El monto al final del mismo período se 1 $ a la tasa i será: (i+i)

Al igualar las dos últimas expresiones, se estaría igualando los montos y se tendrá: (1+i) = (1+i₁)(1+i₂)

Al despejar i de la última expresión se tiene:

i = i₁+i₂+i₁i₂

Ejemplo de cálculo devaluación y el interés compuesto

2009-06-12T08:52:00.000-07:00

Ejemplo de cálculo devaluación y el interés compuesto

Ejemplo:

Solución:

Las condiciones iniciales son:

300 $us lo que es equivalente a 300*1500 = 450000 $

Las condiciones finales en dólares son: 300(1+0.06)¹= 318 $us

Para calcular las condiciones finales en pesos primero se debe calcular el tipo de cambio que regirá dentro de un año.

Como la devaluación es del 20 %, dentro de un año un dólar valdrá 1500(1+0.2)¹ = 1800 $, y los 318 $us valdrán 318*1800 = 572400 $, tal como se muestra en el siguiente esquema.

Como el inversionista reside en “el país de las maravillas”, la rentabilidad que él necesita conocer se obtiene aplicando la fórmula del interés compuesto a los valores iniciales y finales en pesos (si el inversionista fuera residente en EEUU, la rentabilidad se obtendría entre valores iniciales y finales pero en dólares estadounidenses). Entonces:

572400 =450000(1+i)¹ y al despejar la tasa de interés se obtiene:

i = 27.2 %

Obsérvese que el 27.2 %, no corresponde a la suma del 20 % con el 6 %.

La devaluación y la ingeniería económica

2009-06-08T15:04:00.000-07:00

La devaluación y la ingeniería económica

La pérdida de valor de una moneda frente a otra moneda se denomina devaluación, por ejemplo habrá devaluación si inicialmente hay que pagar 15000$ por un dólar y un año más tarde hay que pagar 2000 $ por el mismo dólar. En este caso la devaluación del año es igual a la variación de precio sobre el precio inicial, lo que se puede representar de la siguiente manera:

Devaluación = (2000-1500)/1500=0.3333=33.33 %

Lo contrario de la devaluación se denomina revaluación que significa que habrá que pagar menos unidades monetarias con respecto a otra, por ejemplo si al principio del año hay que pagar 1500 $ por un dólar y al final del año hay que pagar 1200 $ entonces la revaluación será la variación del precio sobre el precio inicial, lo que se puede representar de la siguiente forma:

Revaluación = (1200-1500)/1500 = -0.2 =-20 %

En 1944 en Bretón Woods, una pequeña población de Estados Unidos, se reunieron los delegados de los países occidentales y acordaron que el oro ya no sería el patrón universal y que de ahí en adelante el patrón universal sería la moneda del país que tuviera el mayor comercio; después de los estudios correspondientes se concluyó que esta moneda era el dólar de Estados Unidos.

La devaluación como fenómeno afecta al sector externo de un país en varios frentes de la economía, un aspecto benéfico de la devaluación está en las exportaciones ya que los exportadores recibirán más moneda local por la venta de sus productos en el exterior e incentiva a muchos industriales a vender sus productos en otros países incrementando así las reservas internacionales. Pero la devaluación también trae sus efectos indeseables como es el aumento de la deuda externa en términos de moneda local; las importaciones aumentan de valor lo que provoca una mayor inflación y reduce la inversión extranjera debido a que los efectos de la devaluación reducen la rentabilidad de los inversionistas extranjeros.

Por ejemplo, si se ha proyectado que la devaluación sea del 14 % anual esto implica que si el precio del dólar a principio del año es de 1000 $ a los seis meses debe estar próximo a los 1070 $ y al final del año debe estar rondando los 1140 $ pero como se mencionó anteriormente el precio del dólar depende no sólo de las proyecciones macroeconómicas sino de la oferta y demanda de la divisa y de la situación política actual de un país.

La inflación y la ingeniería económica

2009-06-07T15:03:00.000-07:00

La inflación y la ingeniería económica

El proceso económico en el cual se presenta un aumento general de precios se denomina inflación que se representa por f. Para calcular la inflación se toma una serie de artículos que conforman la canasta familiar. Es posible que en un lapso de tiempo determinado algunos artículos de esta canasta familiar suban de precio, otros se mantienen estables y algunos podrán bajar de precio, el resultado de todo lo que pasa con la canasta familiar se mide con el IPC (Índice de Precios al Consumidor).

Con el hecho que suba de precio un solo artículo de los que conforman la canasta familiar habrá inflación aunque por tratarse de un solo articulo la incidencia que tenga sobre el IPC será muy poca. Naturalmente hay artículos que tienen más incidencia en el IPC que otros, por ejemplo: cuando sube el precio de los combustibles, si se toma el caso de la gasolina, se aumentan las tarifas del transporte y con el ello el precio de otros productos como los alimentos; en consecuencia un aumento del precio de los combustibles traerá una cadena de alzas en varios de los artículos que conforman la canasta familiar y por lo tanto tendrá más incidencia en el IPC que por ejemplo el aumento de las pensiones en el sector de la educación.

Lo contrario de la inflación se denomina deflación, significa una disminución general de precios y en este caso el IPC disminuye.

En el sector de la producción, la canasta familiar en vez de bienes de consumo, incluye materias primas, salarios, energía y demás insumos necesarios para la producción, por lo tanto tiene un valor diferente que se mide con el IPP (Índice de precios al productor) el cual varia de un sector a otro.

Se debe mencionar que la inflación y la deflación son fenómenos internos a un país.

Ejemplo de aplicación del interés compuesto en depósitos a término fijo

2009-06-06T14:59:00.000-07:00

Ejemplo de aplicación del interés compuesto en depósitos a término fijo

Ejemplo:

Supóngase que una persona invierte 600000 $ en un depósito a término fijo en 6 meses, si le garantizan una tasa del 24 % NM, determinar el valor final del documento suponiendo un impuesto del 7 % sobre las utilidades.

Solución:

La gráfica correspondiente al flujo de caja será puede ser representado de la siguiente manera:

La inversión inicial es de 600000 $. El monto antes de impuestos que deberá calcularse con la tasa efectiva será:

S= 600000*(1+0.02)⁶=675697.45 $

Los intereses vienen a ser la diferencia entre el valor final y el valor inicial, es decir:

I=S-P=675697.45-600000=75697.45 $

La retención en la fuente es del 7 % de los intereses, es decir: 0.07*75697.45=5298.82 $

Redondeando las cifras se tiene que el monto después de impuesto será:

675687-5299 = 670398 $

La rentabilidad después de impuestos se puede calcular de la siguiente manera:

670398 =600000(1+i)⁶

De donde se obtiene que i=1.86598 % EM

Por equivalencia de tasas i=24.84 %EA

De lo visto hasta el momento se puede concluir que si el depósito a término fijo gana el 2 % EM significa que estará dando el 26.824 %EA pero antes de impuestos y que después de impuestos se reduce al 24.84 % EA, sin embargo esto no es más que una utopía porque el inversionista entregó al principio 600000 $, los cuales tenían un cierto poder adquisitivo y cuando le devuelven el dinero su poder de compra se ha disminuido por efectos de la inflación.

Aplicaciones del interés compuesto – Depósitos a término fijo

2009-06-05T14:57:00.000-07:00

Aplicaciones del interés compuesto – Depósitos a término fijo

Muchas son las aplicaciones que tiene la fórmula del interés compuesto. A continuación solo se dará algunas de las muchas aplicaciones. Para empezar se examinará los depósitos a término fijo o certificados de depósito a término.

Depósitos a término fijo

La misión de un intermediario financiero consiste en conseguir dinero prestado generalmente del público y volverlo a prestar a otras personas pero a una tasa más alta. Para conseguir dinero del público debe ofrecer una tasa de interés e incentivar a los inversionistas a que le traigan sus ahorros, a esta tasa se le denomina tasa de captación o tasa pasiva de interés. Cuando va a prestar estos dineros lo hace a una tasa de interés mayor denominada tasa de colocación o tasa activa de interés.

A la tasa de captación también se le denomina tasa pasiva porque cuando el intermediario financiero recibe el dinero debe registrar en el pasivo una obligación la cual genera unos intereses que deberá pagarle al inversionista, de ahí el nombre de tasa pasiva.

A la tasa de colocación también se le denomina tasa activa porque en el momento en que la entidad financiera presta el dinero registra en el activo una cuenta por cobrar, como estos dineros generan intereses que van a los activos, de ahí el nombre de tasa activa.

La diferencia entre la tasa activa y la pasiva recibe el nombre de margen de intermediación (también denominado spread) que no es exactamente la ganancia del intermediario financiero porque intervienen otros factores tales como impuestos, encajes, etc.

En los depósitos a término fijo es importante tener en cuenta que la ganancia por concepto de intereses es gravada con un impuesto que se cobra al momento en que se hace el pago y se denomina retención en la fuente.

Ejemplo de cálculo 4 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo

2009-06-03T15:06:00.000-07:00

Ejemplo de cálculo 4 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo

Ejemplo:

Una persona debe pagar 70000 $ en 3 meses y 85000 $ en 8 meses. Ante la imposibilidad de cancelar las deudas en las fechas previstas le ofrece al acreedor que le cancelará 50000 $ en 4 meses y 130000 $ en 12 meses. Si el acreedor acepta esta nueva forma de pago, ¿Qué tasa de interés efectiva mensual estará pagando?

Solución:

Si se pone el plan de pago original hacia arriba de la línea de tiempo, el plan propuesto en la misma línea de tiempo pero hacia abajo y la fecha focal en 0 se tendrá lo siguiente:

La incógnita es la tasa de interés i, en consecuencia el planteo de la ecuación de valor correspondiente a la gráfica del flujo de caja anterior será:

70000(1+i)^-3+85000*(1+i)^-8=50000*(1+i)^-4+130000*(1+i)^-12

Se solucionará este problema en forma manual, aunque la solución no es sencilla debido a que se trata de una ecuación de grado 12, el procedimiento será el siguiente:

Igualando la ecuación a cero y simplificando por 1000, la ecuación queda como sigue:

70(1+i)^-3-50*(1+i)^-4+85*(1+i)^-8-130*(1+i)^-12=0

Para resolver la anterior ecuación se utilizará el método de ensayo y error combinado con una interpolación, el método consiste en escoger una tasa i₁ y calcular el valor que toma la función f₁, luego se hace lo mismo con otra tasa i₂ y se calcula el valor que toma la función f₂, lo importante es que el valor de las funciones f₁ y f₂ sean de signo diferente, si al hacer los ensayos las funciones salen del mismo signo habrá que hacer nuevos ensayos hasta que se obtenga las funciones con signo diferente.

De acuerdo a lo mencionado, se hace un primer ensayo con i₁=2%, entonces al reemplazar en la ecuación el resultado obtenido será: f₁=-10.18714

Procediendo a hacer un nuevo ensayo con otra tasa i₂=3%, el resultado será: f₂=-4.44404.

Cómo el valor de la función en ambos casos es negativo, entonces se tiene que hacer un nuevo intento con otra tasa hasta que el valor de la función cambie de signo.

Ensayando con i₃₌4%, se tiene que: f₃=0.40058.

Por lo tanto se toman los resultados correspondientes al 3% y 4% por ser los más cercanos y los que presentan signo diferente en el cálculo de la función.

Luego se planteará lo siguiente:

Valor de la tasa Valor de la función

3% -4.44404

x 0

4% 0.40058

Entonces se planteará una proporción, en el siguiente sentido: la diferencia pequeña es a la diferencia grande entre los valores de las tasas de interés, al igual que la diferencia pequeña es a la diferencia grande entre los valores de la función.

Lo anterior se representará de la siguiente forma:

((3-x)/(3-4))=((-4.44404-0)/(-4.44404-0.40058))

Despejando el valor de x de la anterior ecuación se obtendrá:

x=3.9173 % mensual

La interpolación produce un error que es despreciable siempre y cuando el intervalo que se toma para interpolar no sea muy grande, en la práctica financiera un punto porcentual es el máximo permitido para que el error sea despreciable, en este caso se uso un punto porcentual, ya que se interpoló entre 3% y 4%. La respuesta exacta con varios decimales es: x=3.9101765 %.

Ejemplo de cálculo 3 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo

2009-06-02T15:05:00.000-07:00

Ejemplo de cálculo 3 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo

Ejemplo:

Una persona debe pagar 10000 $ con vencimiento en 3 meses, 15000 $ con vencimiento a 10 meses y 20000 $ con vencimiento a un año. Si hace un pago único de 45000 $, hallar la fecha en que debe hacerse. Supóngase una tasa del 18 % nominal mensual.

Solución:

La gráfica correspondiente a los flujos se puede representar de la siguiente forma:

Del flujo de caja representado en el anterior gráfico, se puede plantear la siguiente ecuación de valor:

10000*(1+0.015)⁹+15000*(1+0.015)²+20000 = 45000*(1+0.015)^12-n

Operando la anterior ecuación se tiene:

46887.27 = 45000*(1.015)^12-n

Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación anterior se tendrá:

log(46887.27/45000)=(12-n)log(1.015)

Despejando el valor de n se tendrá:

n=9.240959 meses

Lo anterior es equivalente a 9 meses + 0.24059 de mes. La fracción de mes puede ser convertida a un número de días por lo que se tendrá:

0.24059 mes * 30 días/mes = 7.12177 días

Entonces la respuesta aproximada será:

n = 9 meses y 7 días

Ejemplo de cálculo 2 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo

2009-06-01T13:03:00.000-07:00

Ejemplo de cálculo 2 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo

Ejemplo:

Una deuda de 15000 $ contraída hace 2 meses vencimiento en 4 meses y con tasa de interés de 24 % NT; y otra de 25000 $ contraída hace 1 mes con vencimiento en 8 meses y con tasa de interés al 28 % NS, se van a cancelar mediante dos pagos de igual valor, efectuados el primero el día de hoy y el segundo en 6 meses. Con un interés del 30 % NM (esto significa que el rendimiento normal de la moneda es del 30 % NM) determinar el valor de los pagos.

Solución:

Primero se debe liquidar el valor de cada deuda en la fecha de vencimiento.

15000(1+0.06)²=16854

25000(1+0.14)^1.5=30429.67

Si se pone la fecha focal en 6 meses, la gráfica del flujo de caja será:

El planteamiento de la ecuación de valor será:

16854*(1+0.025)²+30429.67*(1+0.025)^-2= x*(1+0.025)⁶+x

Despejando el valor de x de la anterior ecuación se obtendrá:

x=21609.84 $

2009-05-31T14:59:00.000-07:00

Ejemplo de cálculo 1 ecuaciones de valor – equivalencias financieras en el tiempo

Ejemplo:

Una persona se comprometió a pagar 250000 $ en 3 meses, 300000 $ en 8 meses y 130000 $ en 15 meses. Ante la dificultad de cumplir con las obligaciones tal como están pactadas solicita una nueva forma de pago de la siguiente forma: 60000 $ hoy, 500000 $ en 12 meses y el saldo en 18 meses. Suponiendo que el rendimiento normal de la moneda es del 3 % efectivo mensual, determinar el valor del saldo.

Solución:

Se pueden hacer dos gráficas, una para las obligaciones originales y otra para el nuevo plan de pagos, pero para simplificar el flujo de caja se hará una sola gráfica poniendo las obligaciones originales hacia arriba y dejando las nuevas obligaciones hacia abajo. La fecha focal se puede poner en cualquier parte, sin embargo para el ejemplo se la pondrá en el mes 8.

El análisis del flujo de caja presentado es el siguiente:

a. Para la deuda del mes 3: hay que pagar 250000 $ en el mes 3, pero si se pagan en el mes 8 entonces su valor será: 250000*(1+0.03)⁵

b. Para la deuda del mes 8: como se deben pagar 300000 $ en el mes 8 y es ahí donde está la fecha focal esto implica que la cantidad no se modifica por tanto se la deja como está.

c. Para la deuda del mes 15: en 15 meses hay que pagar 130000 $ pero si se llegan a pagar antes es justo que se pague menos y su valor será 130000*(1+0.03)^-7

d. Para el pago que se haría el día de hoy: como hoy se pagan 60000 $ esto equivale a que en el mes 8 se hubiese pagado 60000*(1+0.03)⁸

e. Para el pago que se hace en 12 meses: hay un compromiso de pagar 500000 $ en 12 meses pero si se llegan a pagar antes entonces la cifra debe ser menor 500000*(1+0.03)^-4

f. Para el pago que se haría en 18 meses: el compromiso es pagar x $ en 18 meses, pero si se llegan a pagar en el mes 8 es lógico que se tenga que pagar una cantidad menor por pagarlos antes de tiempo y su valor será: x*(1+0.03)^-10

Luego la ecuación de valor puede ser escrita de la siguiente manera:

250000*(1.03)⁵+300000+130000*(1.03)^-7 = 60000*(1.03)⁸+500000*(1.03)^-4+x*(1.03)^-10

Despejando el valor de x en la ecuación anterior se tendrá que:

x=235549.16 $

Ecuaciones de valor en el interés compuesto

2009-05-30T16:58:00.000-07:00

Ecuaciones de valor en el interés compuesto

Es muy frecuente cambiar una o varias obligaciones por otra u otras nuevas obligaciones. La solución de este problema es elemental y para solucionarlo es necesario usar una ecuación de valor, que es una igualdad de valores ubicados en una sola fecha denominada fecha focal.

La fecha focal se representa gráficamente por una línea a trazos y por las letras ff y es la fecha en que debe hacerse la igualdad entre ingresos y egresos. La ubicación de la fecha focal no altera la respuesta final, por tal motivo la ubicación de la fecha focal se deja a libre elección de la persona que va a resolver el problema. (En el interés simple, la posición de la fecha focal sí causa variación en la respuesta final y por esta razón normalmente es el acreedor quien decide dónde ubicarla).

El principio fundamental de una ecuación de valor, que viene a ser el mismo principio fundamental de las finanzas, establece que la sumatoria de los ingresos debe ser igual a la sumatoria de los egresos ambos en la fecha focal, esto es:

Σingresos = Σegresos (en la fecha focal)

Naturalmente que el traslado a la fecha focal de cada una de las cantidades debe hacerse usando la fórmula del monto o la fórmula del valor presente utilizando una tasa de interés llamada el rendimiento normal del dinero que es la tasa que en promedio cobra el sistema financiero.

El enunciado de una ecuación de valor también puede ser expresado de la siguiente manera:

ΣDeudas = ΣPagos (en la fecha focal)

Mirando un balance el principio puede ser expresado de la siguiente forma:

ΣActivos = ΣPasivos + capital (en la fecha focal)

Como en cualquier proyecto los ingresos se representan por flechas hacia arriba y los egresos se representan por flechas hacia abajo, entonces mirando la gráfica del flujo de caja se puede expresar el principio fundamental de una ecuación de valor de la siguiente manera alternativa:

Σde lo que está para arriba = Σde lo que está para abajo (en la fecha focal)

La sumatoria de los ingresos en unidades monetarias de hoy menos la sumatoria de los egresos en unidades monetarias de hoy recibe el nombre de valor presente neto o valor actual neto (se representa por VAN, VPN y en Excel se representa por VNA).

La tasa a la cual la sumatoria de los ingresos es igual a la sumatoria de los egresos se denomina tasa interna de retorno que en la generalidad de textos se representa por TIR.

Ejemplo 4 de cálculo equivalencia entre tasas de interés – Gráfica equivalencia tasas de interés

2009-05-29T07:53:00.000-07:00

Ejemplo 4 de cálculo equivalencia entre tasas de interés – Gráfica equivalencia tasas de interés

Ejemplo:

Dado 20 % período 200 días anticipado, calcular una tasa de interés nominal vencida con período 150 días.

Solución:

La tasa con período 200 días anticipada se representará por i_a.

Saliendo del punto 6 de la gráfica de equivalencia de tasas de interés se llegará al punto 4.

En el punto 6, i_a = 20 % en el punto 2 i = i_a / (1-i_a) = 0.2 / (1-0.2) = 0.25

Para el paso de 2 al punto 3 se debe tener en cuenta que si un período tiene 200 días entonces habrá en 1 año 365 / 200 períodos, en igual forma, si un período tiene 150 días en un año habrá 365 / 150 períodos, por lo tanto se puede plantear la siguiente ecuación:

(1+0.25)^365/200= (1+i₂)^365/150

Despejando la tasa de interés del lado derecho de la ecuación anterior, se tendrá:

i = 18.2177 % período 150 días que corresponde al punto 3.

Para llegar al punto 4 se aplica la fórmula:

j = i * m

Entonces reemplazando valores se obtendrá:

j = 18.2177 * (365/150) = 44.33 % N150dv

Ejemplo 3 de cálculo equivalencia entre tasas de interés – Gráfica equivalencia tasas de interés

2009-05-28T07:33:00.000-07:00

Ejemplo 3 de cálculo equivalencia entre tasas de interés – Gráfica equivalencia tasas de interés

Ejemplo:

Dado el 28 % nominal con período de 258 días hallar una tasa efectiva anual.

Solución:

La tasa nominal con intereses vencidos pagaderos por períodos de 258 días se la puede representar por: N258dv.

En la gráfica de equivalencia de tasas, se inicia en 1 se va al punto 3.

En 1 j=N258dv

Para llegar a 2 se sabe que i = j / m. Como el período tiene 258 días, entonces en un año habrá 365 / 258 =1.4147 períodos y al reemplazar en la fórmula señalada se tendrá:

i = 0.28 / 1.4147 =0.1979 =19.79 % período 258 días

Para el paso del punto 2 al punto 3, se tendrá:

(1+0.1979)^365/258= (1+i₂)¹

Despejando la tasa de interés se tendrá:

i = 29.10797 % efectivo anual

Ejemplo 1 de cálculo equivalencia entre tasas de interés – Gráfica equivalencia tasas de interés

2009-05-27T07:47:00.000-07:00

Ejemplo 1 de cálculo equivalencia entre tasas de interés – Gráfica equivalencia tasas de interés

Ejemplo:

Dado el 30 % nominal trimestre anticipado, calcular una tasa efectiva mensual anticipada que sea equivalente.

Solución:

En la gráfica de equivalencia de tasas, se sitúa el punto 5 como punto de partida que corresponde a una tasa nominal anticipada y el destino final será el punto 7, que corresponde a una tasa efectiva anticipada.

En el punto 5 j_a=30 % NTA

En el punto 6:

i_a = j_a / m = 30 / 4 = 7.50% trimestre anticipado

Para llegar al punto 2 se aplica la fórmula:

i = i_a / (1- i_a)

Reemplazando los valores de la tasa de interés encontrada.

i = 0.075 / (1- 0.075) = 8.1081 % trimestral

El paso de 2 a 3 implica el planteo de la ecuación:

(1+0.081081)⁴= (1+i₂)¹²

Obsérvese que el primer paréntesis quedó elevado a la potencia 4 porque la tasa tiene efectividad trimestral y el segundo paréntesis quedó elevado a la potencia 12 porque los nuevos períodos deben ser meses, así:

i = 2.6328 % EM

El paso de 3 a 7 implica el planteo de la ecuación.

i_a = i / (1- i) = 0.026328 / (1+0.026328) = 2.565 % EMA =2.565 % periódica mes anticipado

Ejemplo de cálculo equivalencia entre tasas de interés – Gráfica equivalencia tasas de interés

2009-05-26T05:07:00.000-07:00

Ejemplo de cálculo equivalencia entre tasas de interés – Gráfica equivalencia tasas de interés

Ejemplo:

Dada la tasa de interés del 36 % nominal mensual, encontrar:

a. Una tasa efectiva anual

b. Una tasa nominal semestral

c. Una tasa efectiva bimestral

d. Una tasa nominal semestral anticipada

Solución:

Empleando la gráfica de equivalencia de tasas de interés se tendrá:

En el punto 1, j = 36 % NM (Nominal Mensual)

En el punto 2, i = j / m = 36 / 12 = 3 % EM (Efectivo Mensual)

Para el paso del punto 2 al punto 3, se plantea la ecuación:

(1+0.03)¹²= (1+i₂)¹

Obsérvese que el primer paréntesis se eleva a la potencia 12 porque la tasa del 3 % tiene periodicidad mensual y en un año hay 12 períodos; el segundo paréntesis se eleva a la potencia 1 porque la tasa debe tener una periodicidad anual, es decir una efectividad anual; al despejar i de la ecuación anterior se obtiene que la tasa de interés buscada será:

i = 42.5761 % EA (Efectivo Anual)

El punto de partida es el punto 1 y el punto de llegada debe ser el punto 4.

En el punto 1, j = 36 % NM (Nominal Mensual)

En el punto 2 i =j / m = 36 / 12 = 3 % mensual

Para el paso del punto 2 al punto 3 se plantea la siguiente ecuación:

(1+0.03)¹²= (1+i₂)²

Obsérvese que el segundo paréntesis se elevó a la potencia 2 porque la tasa debe tener una efectividad semestral y en un año hay 2 semestres. Al despejar i de la anterior ecuación se tendrá:

i = 19.4052 % ES (Efectivo Semestral)

Para el paso del punto 3 al punto 4, simplemente se multiplica el resultado anterior por 2, y así se tiene:

j = 19.4052 % * 2 = 38.81 % NM (Nominal Semestral)

El punto de partida es el punto 1 y el punto de llegada es el punto 3.

En los puntos 1 y 2 se tienen los mismos resultados de los incisos a) o b) del ejemplo, por consiguiente en el punto 2, la tasa de interés efectiva es: i = 3 % EM (Efectivo Mensual)

El paso del punto 2 al 3, implica el planteo de la siguiente relación:

(1+0.03)¹²= (1+i₂)⁶

Obsérvese que el exponente del segundo paréntesis debe ser 6 porque se quiere trabajar con períodos bimestrales y en un año hay 6 bimestres. Al despejar se obtiene:

i = 6.09 % EB (Efectivo Bimestral) que también se puede escribir como 6.09 % período semestral.

El punto inicial es el 1 y el punto de llegada debe ser el punto 8.

En los puntos 1 y 2 los resultados son los mismos que los mostrados en los incisos a), b) o c) del ejemplo.

El paso del punto 2 al punto 3 implica el planteamiento de la siguiente ecuación.

(1+0.03)¹²= (1+i₂)²

Despejando la tasa de interés buscada se tiene.

i = 19.4052 % ES (Efectivo Semestral)

El paso del punto 3 al punto 7 implica plantear la ecuación:

i_a= i / (1+i)

Reemplazando valores en la anterior relación se tiene:

i_a= 0.194052 / (1+0.194052) = 16.2516 % periódica semestral anticipada

El paso del punto 7 al punto 8, implica multiplicar el anterior resultado por 2 y se tendrá:

j_a = 16.2516 *2 = 32.5 % NSA (Nominal Semestral Anticipada)

Gráfica de equivalencia de tasas de interés

2009-05-25T06:04:00.000-07:00

Gráfica de equivalencia de tasas de interés

Los puntos que se colocan en la gráfica (del 1 al 8), solo sirven para identificación y no es más que una ampliación de una gráfica mostrada con anterioridad.

La gráfica puede ser representada de la siguiente manera:

Donde:

i = tasa ordinaria o vencida

i_a = tasa efectiva anticipada (tasa periódica anticipada)

j = tasa nominal vencida

j_a = tasa nominal anticipada

Nota:

Para el uso de la gráfica de equivalencia de tasas de interés, siempre se debe comenzar de un punto de la izquierda y seguir la trayectoria hasta llegar a otro punto situado en la parte de la derecha.

Relación entre una tasa de interés anticipada y una tasa de interés vencida

2009-05-24T08:01:00.000-07:00

Relación entre una tasa de interés anticipada y una tasa de interés vencida

La tasa de interés viene a ser la relación entre el interés ganado sobre el capital invertido, lo que significa que:

i =I / P

Según la fórmula del valor líquido o valor de transacción visto con anterioridad, se tiene que:

VL = S (1-dt)

Entonces, al final de un período VL = S(1-d) y teniendo en cuenta que P viene a ser el valor líquido se tendrá:

i = I / P = (Sd) / S (1-d) = d / (1-d)

Como la tasa anticipada es la misma tasa de descuento, se tiene que conociendo una tasa anticipada se puede hallar la tasa vencida aplicando la fórmula:

i = d / (1-d)

La tasa d es una tasa de descuento que equivale a una tasa anticipada, por esta razón se la puede representar por i_a, de tal forma que la ecuación anterior se puede escribir como:

i = i_a / (1- i_a)

Si se despeja i_ade la anterior fórmula se llega a:

i_a= i / (1+i)

Naturalmente también existen las tasas nominales anticipadas que se representarán por j_a y por similitud con las tasas de interés vencidas se tendrá:

j_a = i_a*m

Y también

i_a = j_a / m

Equivalencia de tasas de interés efectivas en el interés compuesto – Ejemplo de cálculo

2009-05-21T16:32:00.000-07:00

Equivalencia de tasas de interés efectivas en el interés compuesto – Ejemplo de cálculo

Ejemplo:

Dado el 2.5 % EM (Efectivo Mensual) hallar una tasa nominal trimestral equivalente.

Solución:

De acuerdo con el siguiente esquema se trata de pasar del punto 2 al punto 4, es decir se debe seguir la trayectoria 2 – 3 – 4.

En el punto 2 la tasa de interés efectiva mensual es de 2.5 %.

Para el paso del punto 2 al 3 se reemplaza los valores dados en la siguiente ecuación:

(1+i₁)^m1= (1+i₂)^m2

Reemplazando valores numéricos se obtiene:

(1+0.025)¹²= (1+i₂)⁴

Despejando i₂, se obtiene i₂=7.6891 % trimestral

Para pasar del punto 3 al punto 4 se aplica la siguiente fórmula:

i = j/m

j = i * m

Reemplazando valores numéricos se obtiene:

j = 7.6891 * 4 = 30.756 % nominal trimestral

Equivalencia de tasas de interés nominales en el interés compuesto – Ejemplo de cálculo

2009-05-20T16:29:00.000-07:00

Equivalencia de tasas de interés nominales en el interés compuesto – Ejemplo de cálculo

Ejemplo:
Dado el 36 % NM (nominal mensual) hallar una tasa nominal semestral equivalente

Solución:

La tasa del 36 % NM se puede convertir en efectiva empleando la fórmula:

i = j/m

Reemplazando los valores se tendrá:

i = 36/12 = 3 % mensual

La tasa efectiva del 3 % mensual se convierte en semestral usando la siguiente fórmula:

(1+i₁)^m1= (1+i₂)^m2

Reemplazando valores se obtiene:

(1+0.03)¹²= (1+i₂)²

De donde se obtiene que la tasa de interés buscada i₂=19.4052 % semestral, y esta última se la convierte en nominal

j = 19.4052 * 2 = 38.81 % NS (Nominal Semestral)

La solución del ejemplo anterior implicó partir del punto 1 y llegar al punto 4 pasando por los puntos intermedios 2 y 3 de acuerdo con el siguiente esquema:

En el punto 1 j=36 % NS, en el punto 2 i=3 % EM, en el punto 3 i=19.4052 % ES y en el punto 4 j=38.81 % NS.

Equivalencia de tasas de interés en el interés compuesto – Ejemplo de cálculo

2009-05-17T14:15:00.000-07:00

Equivalencia de tasas de interés en el interés compuesto – Ejemplo de cálculo

Ejemplo:

Dado el 5 % EB (efectivo bimestral o periódica bimestral) calcular una tasa efectiva trimestral que sea equivalente.

Solución:

Los datos conocidos son: i₁ = 0.05, m1= 6 porque en un año hay 6 bimestres, m2 = 4 porque se desea hallar una tasa efectiva trimestral entonces los nuevos períodos son trimestres y en un año habrá 4 períodos. Al reemplazar estos valores en la ecuación del cambio de efectividad se tiene:

(1+i₁)^m1= (1+i₂)^m2

(1+0.05)⁶= (1+i₂)⁴

Despejando el valor de i₂ se obtiene:

i₂= 7.59298 % trimestral

La equivalencia de tasas también se puede dar entre tasas nominales.

Equivalencia de tasas de interés en el interés compuesto – Definición (Segunda parte)

2009-05-16T14:13:00.000-07:00

Equivalencia de tasas de interés en el interés compuesto – Definición (Segunda parte)

El monto final también se puede calcular usando la fórmula del interés compuesto como sigue:

S = P(1+i)ⁿ

S = 1000 (1+i)²

Es obvio, que de la gráfica anterior es fácil calcular el valor que tendrá la tasa i % pero no se obtendrá el valor de forma directa, sino que se seguirá un camino más largo con el fin de buscar otro objetivo.

Como el resultado final debe ser igual en ambos casos se tendrá que:

S = 1000 (1+0.1)⁴= 1000 (1+i)²

Al simplificar el valor de 1000 en la igualdad anterior se obtiene:

(1+0.1)⁴= (1+i)²

Si se despeja i de la anterior ecuación la respuesta que se encuentra es i = 21 % semestral.

La conclusión a la que se llega es que el 10 % trimestral es igual al 21 % semestral.

Sin embargo hay algo más con relación a la equivalencia de tasas y es que producirán el mismo monto sin importar el capital o el tiempo, por ejemplo: el monto de 30000 $ en 3 años al 10 % trimestral será:

S = 30000 (1+0.1)¹²= 94152.85 $

Y el mismo monto calculado al 21 % semestral será:

S = 30000 (1+0.21)⁶= 94152.85 $

Tomando la ecuación (1+0.1)⁴= (1+i)² se la puede reescribir como:

(1+i₁)^m1= (1+i₂)^m2 (*)

Donde:

i₁= tasa conocida o inicial, en el caso anterior es igual al 10 %

i₂= nueva tasa o sea la que se va a calcular

m1 = periódos iniciales que hay en un año, en este caso como los períodos son trimestres, entonces m1 = 4.

m2= períodos de la nueva tasa, como la nueva tasa debe tener efectividad semestral entonces m2 =2.

Al reemplaza los datos anteriores en la ecuación rescrita resulta: (1+0.1)⁴= (1+i)² que es la misma ecuación tomada inicialmente.

La ecuación (*) permite en una forma muy simple cambiar de efectividad, simplemente hay que reemplazar las variables por los datos conocidos y por esta razón se la llamará la ecuación del cambio de efectividad.

2009-05-15T15:14:00.000-07:00

Equivalencia de tasas de interés en el interés compuesto – Definición (Primera parte)

Tasas equivalentes son aquellas que teniendo diferente efectividad producen el mismo monto al final de un año.

Con anterioridad se vio que si se invertía un capital de 1000 $ durante un año al 10 % efectivo trimestral al final del año se tendría un resultado de 1464. 1 $ tal como se muestra en la siguiente gráfica:

El monto final también se puede calcular usando la fórmula del interés compuesto de la siguiente manera:

S = P(1+i)ⁿ

S = 1000 (1+0.1)⁴

Ahora, supóngase que se quiere hacer liquidaciones semestrales pero que el resultado final sea el mismo que el obtenido con liquidaciones trimestrales, entonces con una tasa i % efectivo trimestral. La gráfica del flujo de efectivo quedaría de la siguiente manera:

2009-05-14T15:13:00.000-07:00

Ejemplos de cálculo relación entre tasa efectiva y tasa nominal –Interés compuesto (Cuarta parte)

Ejemplo:

¿En cuanto tiempo se duplica un capital al 24 % nominal vencido?

Solución:

Para duplicar un capital se puede tomar cualquier valor y lo más elemental es tomar 1 $ y convertirlo en 2 $ en n períodos.

La gráfica de flujo de efectivo correspondiente sería la siguiente:

La tasa del 24 % nominal mensual corresponde a una tasa del 2 % efectivo mensual. Y al aplicar la fórmula del interés compuesto se tendrá lo siguiente:

S = P(1+i)ⁿ

Despejando el valor de n se tiene:

n = (ln(S/P)) / (ln(1+i))

Reemplazando los valores del valor presente, valor futuro y tasa de interés en la fórmula anterior se tendrá:

n = (ln(2/1)) / (ln(1+0.02)) = 35.0027888

Del resultado anterior se concluye que el número de períodos requeridos para duplicar el monto inicial es igual a 35.

Ejemplos de cálculo relación entre tasa efectiva y tasa nominal –Interés compuesto (Tercera parte)

2009-05-13T15:10:00.000-07:00

Ejemplos de cálculo relación entre tasa efectiva y tasa nominal –Interés compuesto (Tercera parte)

Ejemplo:

¿A que tasa efectiva mensual se triplica un capital en 2.5 años?

Solución:

Para triplicar un capital se puede pensar en invertir 1 $ y que éste se convierta en 3 $, además como los períodos son meses, entonces en los 2.5 años hay 30 períodos.

La gráfica correspondiente del flujo de efectivo será la siguiente:

Aplicando la fórmula del interés compuesto se tiene:

S = P(1+i)ⁿ

Despejando la tasa de interés:

i = (S/P)^1/n-1

Reemplazando los valores dados en el ejemplo se obtendrá el valor de la tasa de interés buscado.

i = (3/1)^1/30-1 = 0.0373 = 3.73 %

2009-05-11T12:49:00.000-07:00

Ejemplos de cálculo relación entre tasa efectiva y tasa nominal –Interés compuesto (Segunda parte)

Ejemplo:

Una persona debe pagar en 18 meses la suma de 2000000 $. ¿Cuál debe ser el valor del depósito que se haga hoy en una cuenta que paga el 8 % efectivo trimestral para poder retirar esa suma?

Solución:

El flujo de caja para el ejercicio planteado será:

Se toma 6 períodos porque la tasa es efectiva trimestral, y en 18 meses hay 6 trimestres.

Al reemplazar en la fórmula del interés compuesto se tiene lo siguiente:

S = P(1+i)ⁿ

Despejando el valor presente se tiene:

P = S/(1+i)ⁿ

Con los valores dados en el ejercicio:

P = 20000000/(1+0.08)⁶ = 1260339.25 $

Por lo tanto para pagar la suma de 2000000 $ en 18 meses y dada la tasa efectiva trimestral de 8 %, la persona debe depositar hoy la suma de 1260339.25 $.

Ejemplos de cálculo relación entre tasa efectiva y tasa nominal –Interés compuesto (Primera parte)

2009-05-10T12:47:00.000-07:00

Ejemplos de cálculo relación entre tasa efectiva y tasa nominal –Interés compuesto (Primera parte)

Ejemplo:

Se invierte 200000 $ en un depósito a termino fijo de 6 meses en un banco que paga el 28.8 % nominal mensual. Determinar el monto de la entrega al vencimiento.

Solución:

Puesto que la tasa es nominal mensual se concluye que los períodos son meses y el número de períodos que hay en un año es 12 (m=12), por lo tanto:

i=28.8/12=2.4 % efectiva mensualmente (EM)

Además, el número de períodos que dura la inversión es 6 (n=6).

La representación del flujo de caja será:

Obsérvese que P = 200000 $ y se la dibuja hacia abajo porque desde el punto de vista del inversionista representa un egreso en el momento de constituir el depósito a término fijo y F se dibuja hacia arriba porque el cobro al vencimiento le representa un ingreso. La aplicación de la fórmula del interés compuesto brinda los siguientes resultados:

S = P(1+i)ⁿ = 200000(1.0.024)⁶= 230584.30 $

Relación entre tasa efectiva y tasa nominal –Interés compuesto

2009-05-09T12:47:00.001-07:00

Relación entre tasa efectiva y tasa nominal –Interés compuesto

De lo visto anteriormente se puede concluir que la tasa nominal es igual a la efectiva multiplicada por el número de períodos que hay en un año, el número de períodos que hay en un año se lo representará por m. Así se llega a las siguientes fórmulas:

j = i × m

i = j/m

La tasa nominal anual se emplea en el interés simple porque esta tasa no tiene en cuenta la capitalización de intereses; la tasa efectiva o periódica es la que se debe usar en las fórmulas del interés compuesto.

Ejemplo:

a. Dado el 3 % efectivo mensual entonces m= 12 y j =3×12 = 36 % CM (convertible mensualmente) = 36 % NMV

b. Dado el 5 % EB (efectivo bimestral) entonces m= 6 y j= 5×6 = 30 % CB = 30 % NBV

c. Dado el 28 % NS entonces m=2 y se puede establecer que i=28/2 = 14 % ES

Interés compuesto y Tasa nominal

2009-05-08T15:58:00.000-07:00

Interés compuesto y Tasa nominal

La tasa del año se la denominará nominal y se la representará por j, pero como dentro del año puede haber varias liquidaciones habrá que indicar cuántas hay.

En el ejemplo inicial referido al interés compuesto que se presentó con anterioridad, se tiene que i = 10 % ET (o periódica trimestral) lo que significa que la tasa del trimestre es el 10 % y como un año tiene 4 trimestres puede concluirse que para todo el año se cobrará el 40 % pero trimestralmente se liquidarán los intereses, esto se puede representar de 3 maneras diferentes:

Primera forma: por j= 40 % CT donde CT significa convertible trimestralmente o capitalizable trimestralmente.
Segunda forma: por j= 40 % NT que significa nominal trimestral.
Tercera forma: por j= 40 % TV que significa que en todo el año se paga el 40 % pero que se paga por trimestres vencidos. Esta última forma se presta para equívocos en varios países.

Si el período es el semestral i =15 % ES = 15 % período semestre y j= 30 % CS = 30 % NS = 30 % SV.

Interés compuesto y Tasa efectiva

2009-05-07T15:58:00.000-07:00

Interés compuesto y Tasa efectiva

La tasa del período se la denominará tasa efectiva y se la representará por i, en el ejemplo inicial referido al interés compuesto que se presentó con anterioridad, la tasa efectiva corresponde al 10 %, pero como el período es el trimestre se dirá que la tasa es el 10 % efectivo trimestral y se puede escribir como 10 % ET, cuando los períodos sean meses se puede decir que la tasa es efectiva mensual, cuando sean semestres se dirá que la tasa es efectiva semestral y así sucesivamente. Como se puede observar existen muchas posibilidades por lo que a continuación de la tasa debe indicarse la efectividad por ejemplo 3 % EM significa que es efectiva mensual.

En el caso particular en que el período es el año se dirá que la tasa es efectiva anual y solo en este caso puede omitirse el nombre de efectivo anual porque toda tasa que no tenga nombre se asume que es efectiva anual, por tal motivo i = 35 % = 35 % EA, pero se hace énfasis que esto es válido solo en el caso de las tasas efectivas anuales.

En algunos textos se asume que la única tasa efectiva es la anual, pero esta restricción dificulta algunas operaciones, razón por la cual es más aconsejable definir la tasa periódica como tasa efectiva.

Interés compuesto – Concepto (Segunda parte)

2009-05-06T06:48:00.000-07:00

Interés compuesto – Concepto (Segunda parte)

Caso del interés compuesto:

La representación gráfica del flujo de efectivo será la siguiente:

Al final del primer trimestre se liquidan los primeros intereses 1000*0.10 = 100 $ y se acumulan al capital para obtener el primer monto de 1100 $.

Al final del segundo período se liquidan los segundos intereses, pero esta vez sobre el monto anterior, esto es: 1100*0.10 = 1100 $ y al acumularlo se obtiene un nuevo monto 1100 + 110 = 1210 $ y así sucesivamente hasta llegar a un monto final de 1464.10 $.

Algebraicamente se pude representar el resultado anterior en la siguiente forma:

Período

Capital

inicial

Interés

Capital final

….

P(1+i)

P(1+i)²

_….

P(1+i)^n-1

P(1+i)i

P(1+i)²i

_….

P(1+i)^n-1i

S₁=P+Pi=P(1+i)

S₂= P(1+i)+ P(1+i)i=P(1+i)²

S₃= P(1+i)²+ P(1+i)²i= P(1+i)³

....

S_n= P(1+i)^n-1+ P(1+i)^n-1i= P(1+i)ⁿ

Con lo que se llega a concluir que la fórmula del interés compuesto es:

S=P(1+i)ⁿ

Donde:

S = Valor final o monto

P = Valor presente o inicial

i = Tasa de interés

n = Número de períodos

Interés compuesto – Concepto (Primera parte)

2009-05-05T06:43:00.000-07:00

Interés compuesto – Concepto (Primera parte)

La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta la reinversión de los intereses, es por esta razón que este tópico es de gran importancia en el desarrollo de casi toda actividad financiera.

Concepto

La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto esta en que en el interés simple los intereses deben ser pagados cada vez que se liquidan mientras que en el interés compuesto cada vez que se liquidan se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a liquidar intereses.

Ejemplo:

Supóngase que se tiene un capital de 1000 $ que será invertido al 10 % trimestralmente durante un año, primero se hace la inversión a interés simple y después se realiza la inversión a interés compuesto. El comportamiento del capital a lo largo del año en cada caso se muestra en las siguientes gráficas.

Caso del interés simple:

Al final del primer trimestre se liquida un interés de 1000*0.10 = 100 $ y se pagan, en consecuencia el capital de 1000 $ no se modifica y así para el siguiente trimestre la liquidación de intereses vuelve a ser 100 $, solamente al final del cuarto trimestre el monto a pagar será de 1100 $ correspondiente a los 1000 $ de la inversión inicial más los 100 $ de los intereses.

Interés simple – Descuentos y pagos parciales – Ejemplo de cálculo

2009-05-04T06:41:00.000-07:00

Interés simple – Descuentos y pagos parciales – Ejemplo de cálculo

Pagos parciales

Hay ocasiones en que al otorgar un crédito convenga que, a más tardar, será cancelado en una fecha convenida, pero el deudor puede hacer abonos parciales a la deuda. Cada vez que se haga un pago parcial se liquidarán los intereses hasta la fecha en que se efectúe y el excedente del pago se abonará a la deuda. Con frecuencia este sistema es utilizado por el comercio en los créditos de consumo.

Ejemplo:

Una mercancía vale al contado 430000 $, si el 17 de marzo se paga una cuota inicial del 30 % y el saldo será cancelado con interés racional del 32 % y un plazo máximo de 4 meses, determinar el valor final que deberá pagarse al vencimiento suponiendo que se efectuaron los siguientes pagos parciales:

a. El 25 de abril 130000 $

b. El 18 de junio 50000 $

c. El 7 de julio 94000 $

Solución:

Como el plazo máximo es de 4 meses que se cuentan a partir de la fecha de compra se concluye que la fecha de vencimiento del crédito será el 17 de julio. Cada vez que se haga un pago se liquidan los intereses causados hasta esa fecha, se descuenta el abono para encontrar un nuevo saldo.

A continuación se muestra la secuencia de cálculos para la obtención del resultado pedido en el ejemplo.

Deuda inicial (0.7*430000) 301000.00 $

Intereses causados hasta el 25 de abril (301000*0.32*39/365) 10291.73 $

Abono el 25 de abril 130000.00 $

Saldo el 25 de abril 181291.73 $

Intereses causados hasta el 18 de junio (181291.73*0.32*54/365) 8582.80 $

Abono el 18 de junio 50000.00 $

Saldo el 18 de junio 139874.53 $

Intereses causados hasta el 7 de julio (139874.53*0.32*19/365) 2329.96 $

Abono el 7 de julio 94000.00 $

Saldo el 7 de julio 48204.49 $

Intereses causados hasta el 17 de julio (48204.49*0.32*10/365) 422.61 $

Saldo al 17 de julio 48627.10 $

Por lo tanto si el 17 de julio el deudor no se presentar a cancelar la suma de 48627.10 $ entonces a partir de esa fecha se comienzan a cobrar intereses en mora.

Ejemplo de cálculo interés simple - descuentos en cadena

2009-05-01T16:03:00.000-07:00

Ejemplo de cálculo interés simple - descuentos en cadena

El valor inicial de una factura, es decir sin descuentos es de 1236150 $. Hallar el descuento promedio y el valor final de la factura cuando se conceden los siguientes descuentos sobre la misma factura:

a. Por pago al contado 10 %

b. Por compra al por mayor 25 %

c. Por temporada 8 %

Solución:

Para calcular el descuento promedio se aplica la siguiente fórmula:

d = 1-((1-d₁)(1-d₂)....(1-d_n))

Reemplazando valores se tiene:

d = 1-((1-0.1)(1-0.25)(1-0.08))=0.379=37.9 %

Para hallar el valor final de la factura se aplica el descuento promedio al valor inicial, de esa manera se tendrá:

0.379*1236150 = 468500.85 $

Y si se quisiera averiguar el valor que hay que pagar basta con restar esta cantidad del valor inicial.

1236150 – 468500.85 = 767649.15 $